[Risolto] Quesito numero 536

Prisma a base triangolare. Angolo ABO = x.

Volume prisma = (area base) * (altezza cilindro);

Corda AB = 2r cos x;

altezza triangolo ABO:

OH = r sen x;

Area triangolo = AB * OH / 2 = 2r cosx * r senx /2;

Area triangolo = r^2 senx * cosx;

h prisma = 2 r;

Volume prisma = r^2 senx * cosx * 2r = 2 r^3 * senx cosx;

Per quale valore di x il volume è massimo?

Quando il prodotto senx cosx assume valore massimo.

V(x) = 2 r^3 * senx  * cosx;

facciamo la derivata prima del prodotto senx cosx;

V'(x) = 2 r^3 * [ cosx * cos x + sen x * (- senx)];

V'(x) = 2 r^3 * [ cos^2 x - sen^2 x];

Poniamo la derivata = 0;

cos^2 x - sen^2 x = 0

cos x = sen x;

seno e coseno sono uguali per x = pigreco/4

x = 45°; x = pigreco/4;

Volume massimo del prisma per angolo = pigreco / 4.

Ciao  @luigi2

@luigi2

Ciao di nuovo.

Superficie di base del prisma=S = 1/2·r^2·SIN(pi - 2·x)

S = 1/2·r^2·SIN(2·x)

quindi il volume del prisma=V = 1/2·r^2·SIN(2·x)·(2·r)

V = r^3·SIN(2·x)

Quindi applichiamo le C.N. V'=dV/dx=0

2·r^3·COS(2·x) = 0-------> x = pi/4

 

 

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chiamato H il punto in cui la normale mandata da O ad AB interseca AB, otteniamo due triangoli rettangoli uguali :OHA ed OHB .

il problema posto richiede di massimizzare l'area di AOB (il che equivale a massimizzare l'area di AOH) al variare dell'angolo OÂH.

Essendo OA pari al raggio r, l'area di AOH vale (r*sen OÂH * r*cos OÂH) /2 ; si sa dalla trigonometria che la funzione (sen x*cos x) è massima e pari a 0,500 per sen x = cos x = √2 /2, il che implica l'angolo OÂH pari a π/4 

ang. x    sen x     cos x   sen x*cos x

40,00    0,6428   0,7660   0,4924
41,00    0,6561   0,7547   0,4951
42,00    0,6691   0,7431   0,4973
43,00    0,6820   0,7314   0,4988
44,00    0,6947   0,7193   0,4997
45,00    0,7071   0,7071   0,5000
46,00    0,7193   0,6947   0,4997
47,00    0,7314   0,6820   0,4988
48,00    0,7431   0,6691   0,4973
49,00    0,7547   0,6561   0,4951
50,00    0,7660   0,6428   0,4924

E' un problema elementare. 

Se ABO^ = x, allora   AOB^ = TT - 2x   con TT - 2x >= 0 =>   x <= TT/2

Sb = 1/2 R^2 * sin (TT - 2x) ,   h = 2R per equilateralità

Vp(x) = R * R^2 sin (TT - 2x) = 2R^3 sin 2x 

che risulta massimo quando TT - 2x = TT/2

2x = TT/2 => ABO^* = TT/4 

e Vp_max =  R^3