Il trapezio isoscele $ABCD$, di base maggiore $AB$, è circoscrittibile alla circonferenza di centro O e raggio di $84 cm$. Il rapporto dei segmenti in cui il punto di tangenza E della circonferenza con il lato obliquo $BC$, divide tale lato, è $\frac{9}{16}$. Calcolare: 1. l'area della superficie e la misura del perimetro del triangolo avente per vertici gli estremi della base minore ed il punto d'intersezione delle diagonali; 2. l'area della superficie laterale ed il volume della piramide retta avente per base il trapezic dato e l'altezza uguale a $63 cm .$ $$ R : \frac{126}{25}(25+\sqrt{1201}) cm ; \frac{95256}{25} cm ^{2} ; 36750 cm ^{2} ; 617400 cm ^{3} $$
Per il teorema sopra enunciato ed essendo il trapezio isoscele, possiamo dire che:
Base maggiore = B = 16x + 16x = 32x
base minore = b = 9x + 9x = 18x
lato obliquo = 9x + 16x = 25x
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo e come cateti l'altezza del trapezio (diametro della circonferenza inscritta) e la semidifferenza delle basi. Vale la relazione:
(25x)² - (7x)² = (84*2)²
Da cui si ricava:
576x² = 28224
x=7
Le dimensioni del trapezio sono quindi:
B=32x = 224 cm
b=18x = 126 cm
h= 168 cm
l= lato obliquo = 25x = 175 cm
Dalle proprietà del trapezio isoscele sappiamo che:
Indichiamo con M il punto di incontro delle diagonali.
I triangoli ABM e DCM sono triangoli isosceli, simili poiché hanno tre angoli congruenti. Il rapporto di similitudine è
B/b = (16x + 16x)/(9x + 9x) = 16/9
Anche il rapporto tra le rispettive altezze risulta quindi tale.
Indicando con:
h1 = altezza triangolo DCM
h2 = altezza triangolo ABM
valgono le relazioni:
{h2/h1 = 16/9
{h1 + h2 = diametro circonferenza = 168
Da cui si ricava:
h1= 1512/25
Essendo il triangolo DCM isoscele sulla base DC il lato obliquo:
MC=MD= radice (h1² + (DC/2)²) =
= (63/25)* radice (1201)
Possiamo quindi calcolare perimetro e area del triangolo DCM
A= (DC*h1) /2 = 126*(1512/50) = 95256/25 cm²
2p = 126 + 2*(63/25)* radice (1201) =
= (126/25)*(25 + radice (1201))
Essendo la piramide retta possiamo calcolare l'apotema utilizzando il teorema di Pitagora.
a = radice (R² + H²) = radice (84² + 63²) = 105 cm
Conoscendo semiperimetro del trapezio
p= (b+B+2l)/2 = 350 cm
e area:
A= (b+B) *84 = 29400 cm²
puoi trovare superficie laterale e volume della piramide.
