Salve, qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi perché questo esercizio venga 1/sqrt(e) anziché 1?
Ho provato a vederlo come (e^-x) * (1+(1/x)^x2), ma arrivo ad una forma (e^-x)*(e^x), che mi da 1 come risultato :/
Salve, qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi perché questo esercizio venga 1/sqrt(e) anziché 1?
Ho provato a vederlo come (e^-x) * (1+(1/x)^x2), ma arrivo ad una forma (e^-x)*(e^x), che mi da 1 come risultato :/
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Livello 0
per risolvere il limite ho fatto utilizzo dello sviluppo di Taylor della funzione ln(1+1/x) per x→+∞
Ti ho scritto qui la soluzione
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Livello 2
@matematico stavo rimandando lo sviluppo di Taylor come ultima chance 🙂
👍 👍 👍
Sicuramente non è un limite da svolgere solo con i limiti notevoli, almeno non nel modo classico. Però ciò non toglie che potrebbe esserci un altro modo per risolverlo senza gli sviluppi di Taylor. Questo è il modo più rapido che mi è venuto in mente per risolvere il limite.
@Sebastiano Carissimo, mi è venuto in mente un modo per risolvere il limite senza usare la formula di Taylor, anche se la formula di Taylor è comunque il metodo più veloce per risolverlo. Ti posto la soluzione, spero di fare cosa gradita 😊
@matematico molto molto carino!! Grazie mille! 👍👍👍
* f(x) = ((1 + 1/x)^x/e)^x =
= (e^(- x))*((1 + 1/x)^x)^x =
= e^(x*ln((1 + 1/x)^x) - x)
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* lim_(x → ∞) f(x) =
= lim_(x → ∞) e^(x*ln((1 + 1/x)^x) - x) =
= e^(lim_(x → ∞) (x*ln((1 + 1/x)^x) - x))
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* lim_(x → ∞) (x*ln((1 + 1/x)^x) - x) =
= lim_(x → ∞) (x - x/ln((1 + 1/x)^x))*ln((1 + 1/x)^x) =
= (lim_(x → ∞) (x - x/ln((1 + 1/x)^x)))*(lim_(x → ∞) ln((1 + 1/x)^x) =
= (lim_(x → ∞) (x*(ln((1 + 1/x)^x) - 1)/ln((1 + 1/x)^x)))*(ln(lim_(x → ∞) (1 + 1/x)^x)) =
= ((lim_(x → ∞) (x*(ln((1 + 1/x)^x) - 1)))/(lim_(x → ∞) ln((1 + 1/x)^x)))*ln(e) =
= ((lim_(x → ∞) (x*(x*ln(1 + 1/x) - 1)))/1)*1 =
= lim_(x → ∞) (x*(x*ln(1 + 1/x) - 1)) =
= - 1/2
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VERIFICA GRAFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-1%2F2%2Cy%3Dx*%28x*ln%281%2B1%2Fx%29-1%29%5Dx%3D-99to99
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AGGIUNTA (dopo aver visto il dubbio espresso da @Sebastiano)
Nessun limite notevole: avevo scadenze d'orario da rispettare (la salute anzitutto!) e poi m'ero stufato di dattiloscrivere quattro o cinque passaggi per ciascuno di quelli appuntati per conto mio. Adesso posso ricominciare coi piccoli passi.
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Ottenuta una forma indeterminata ∞*0 [v. infra] la si tratta come in http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminata con iterazioni della coppia di passaggi {riduzione a 0/0; applicazione di de l'Hôpital}.
* lim_(x → ∞) (x*(x*ln(1 + 1/x) - 1)) =
= lim_(x → ∞) ((x*ln(1 + 1/x) - 1)/(1/x)) =
= lim_(x → ∞) ((ln(1 + 1/x) - 1/(1 + x))/(- 1/x^2)) =
= - lim_(x → ∞) ((x^2)*(ln(1 + 1/x) - 1/(1 + x))) =
= - lim_(x → ∞) ((ln(1 + 1/x) - 1/(1 + x))/(1/x^2)) =
= - lim_(x → ∞) (x^2/(2*(x + 1)^2)) =
= - (1/2)* lim_(x → ∞) (x^2/((x + 1)^2)) =
= - (1/2)*1 =
= - 1/2
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* lim_(x → ∞) (x*(x*ln(1 + 1/x) - 1)) =
= (lim_(x → ∞) x)*(lim_(x → ∞) (x*ln(1 + 1/x) - 1))
------------------------------
* lim_(x → ∞) (x*ln(1 + 1/x) - 1) =
= (lim_(x → ∞) (x*ln(1 + 1/x))) - 1 =
= (lim_(x → ∞) (ln(1 + 1/x)/(1/x))) - 1 =
= (lim_(x → ∞) ((- 1/(x^2 + x))/(- 1/x^2))) - 1 =
= (lim_(x → ∞) (x^2/(x^2 + x))) - 1 =
= 1 - 1 =
= ZERO
QED
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Spero che vogliate perdonare ritardi e scorciatoie.
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Genius I
@exprof ti posso chiedere secondo quale calcolo puoi dire che
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x(xlog(1+1/x)-1) = -1/2$
C'è qualche limite notevole che non vedo/non mi ricordo?
La riposta alla tua domanda è perchè ti ritrovi in una forma inderterminata del tipo $1^{\infty}$.
Sto provando approcci differenti, ma per il momento non riesco a trovare il "grimaldello" per risolverlo...la vecchiaia incombe!! 🙂
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Livello 9