[Risolto] Problema su iperbole

Te lo imposto: la generica conica ha equazione:

$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+d=0$ e servono 5 punti per determinarne i 6 coefficienti.

Passaggio per $A(0,1)$:

$b+e+f=0$

Ma la curva passa anche per $A'(0,-1)$ dato che nel testo sappiano che gli assi coordinati sono anche assi di simmetria.

Quindi

$b-e+f=0$ da cui si ricava immediatamente $e=0$ e quindi $f=-b$

Sempre a causa delle simmetrie, l'iperbole passa per $B(-4,\sqrt{5})$, ma anche per $B$'$(4,\sqrt{5})$ e $B$''$(4,-\sqrt{5})$ 

Sostituendo si ottiene:

$16a+5b-4\sqrt{5}c-4d+f=0$

$16a+5b+4\sqrt{5}c+4d+f=0$

$16a+5b-4\sqrt{5}c+4d+f=0$

Da queste 3 equazioni si deduce che $d=0$, $c=0$ e quindi rimane

$16a+5b+f=0$

ma sapendo che $f=-b$ si ottiene $b=-4a$

Per concludere:

$ax^2+by^2+f=0$ --> $ax^2-4ay^2+4a=0$ 

Adesso si assegna un valore diverso da 0 ad $a$ (tipicamente $1$) e si ottiene

$x^2-4y^2+4=0$

 

A) L'iperbole con assi di simmetria gli assi cartesiani ha equazione della forma
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
dove i semiassi (a, b) sono reali positivi e il segno del secondo membro dipende da quale sia l'asse focale che, dal testo, non si può decidere. Perciò i vincoli delle condizioni di passaggio si devono applicare a entrambe le forme e decidere solo poi.
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A1) Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1 [fuochi sull'asse y]
* passaggio per A(0, 1): (0/a)^2 - (1/b)^2 = - 1 ≡ b = 1
* passaggio per B(- 4, √5): (- 4/a)^2 - (√5/1)^2 = - 1 ≡ a = 2
QUINDI
* Γ ≡ (x/2)^2 - y^2 = - 1
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A2) Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1 [fuochi sull'asse x]
* passaggio per A(0, 1): (0/a)^2 - (1/b)^2 = + 1 ≡ b = i [inaccettabile]
* passaggio per B(- 4, √5): superfluo calcolare, l'opzione A2 è da escludere.
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A3) L'iperbole richiesta è
* Γ ≡ (x/2)^2 - y^2 = - 1
con vertici V(0, ± 1): il punto A(0, 1) è il vertice del ramo y > 0.
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B) Le corde sono i segmenti che congiungono il vertice A(0, 1) coi generici punti cursore P(x, ± √((x/2)^2 + 1)) di Γ; i punti medi, paramerizzati, sono
* M1(k/2, 1/2 - √(k^2 + 4)/4)
* M2(k/2, 1/2 + √(k^2 + 4)/4)
Il luogo si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate
* (x = k/2) & (y = 1/2 - √(k^2 + 4)/4) → y = (1 - √(x^2 + 1))/2 ≡ (x/1)^2 - ((y - 1/2)/(1/2))^2 = - 1
* (x = k/2) & (y = 1/2 + √(k^2 + 4)/4) → y = (1 + √(x^2 + 1))/2 ≡ (x/1)^2 - ((y - 1/2)/(1/2))^2 = - 1
IL LUOGO RICHIESTO E' L'IPERBOLE
* x^2 - (2*y - 1)^2 = - 1
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C) I vertici V del quadrato sono le intersezioni dell'iperbole con le diagonali dei quadranti
* ((x/2)^2 - y^2 = - 1) & (y^2 = x^2) ≡ V(± 2/√3, ± 2/√3)
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D) La circonferenza richiesta è
* x^2 + y^2 = (2/√3)^2
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E) La parabola richiesta ha la forma
* x = y^2 + q
le condizioni di passaggio impongono il vincolo
* 2/√3 = (± 2/√3)^2 + q
da cui
* q = 2/√3 - (2/√3)^2 = (2/3)*(√3 - 2)
e
* x = y^2 + (2/3)*(√3 - 2)
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VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x%2F2%29%5E2-y%5E2%3D-1%2Cy%5E2%3Dx%5E2%2Cx%3Dy%5E2%2B%282%2F3%29*%28%E2%88%9A3-2%29%5D