Il quesito ti chiede in pratica di risolvere il problema di Cauchy:
{$ f'(x) = 2f^{(2)}(x) - f^{(3)}(x)$
{$ f(1)=0$
{$ f'(0)=1$
{$ f^{(2)}(0)=2$
Perdonami la scrittura con le derivate scritte con i numeretti invece che con gli apici, ma non so perché il latex non mi mostra apici oltre il primo.
Cominciamo con il risolvere l'equazione differenziale, che per comodità riscrivo come:
$ y' = 2y^{(2)} - y^{(3)}$
Si tratta di un'equazione lineare di ordine superiore al secondo. Riscriviamola come:
$ y^{(3)} -2 y^{(2)} + y' = 0$
Procediamo sostituendo con le potenze di $\lambda$:
$ \lambda^3 -2 \lambda ^2 + \lambda = 0$
Possiamo mettere in evidenza:
$ \lambda(\lambda^2 -2 \lambda +1) = 0$
e scomporre:
$ \lambda (\lambda -1)^2 = 0$
otteniamo le soluzioni:
$ \lambda = 0$ e $\lambda = 1$ (doppia).
Dunque la soluzione dell'equazione differenziale è:
$ y = c_1 + c_2 e^x + c_3 xe^x$
Determiniamo le costanti usando le condizioni iniziali. Troviamo le derivate fino alla seconda:
$ y' = c_2 e^x + c_3e^x + c_3xe^x$
$ y^{(2)} = c_2 e^x + c_3e^x + c_3 e^x + c_3 xe^x$
e sostituiamo le condizioni:
$ f(1) = 0$ -> $0 = c_1 + c_2 e + c_3e$
$f'(0)=1$ -> $ 1 = c_2 + c_3$
$ f^{(2)}(0)=2$ -> $2= c_2 + c_3 + c_3$
Mettendo a sistema:
{$c_1 + c_2 e + c_3e = 0$
{$c_2+c_3 = 1$
{$c_2 +2c_3 = 2$
Isolo la $c_2$ nella seconda e sostituisco:
{$c_1 + (1 - c_3) e + c_3e = 0$
{$c_2 = 1 - c_3$
{$1 - c_3 +2c_3 = 2$
Dalla terza ottengo: $c_3 = 1$ che sostituisco:
{$c_1 + (1 - 1) e + e = 0$ -> $c_1 = -e$
{$c_2 = 1 - 1 = 0$
{$c_3 = 1$
Quindi la soluzione è
$ f(x) = c_1 + c_2 e^x + c_3 xe^x = -e + xe^x$
La funzione ammette asintoto orizzontale sinistro essendo:
$ lim_{x \rightarrow -\infty} (-e+xe^x) = lim_{x \rightarrow -\infty} (-e+\frac{x}{e^{-x}}) = -e$
A destra invece non presenta alcun asintoto.
Infine calcoliamo l'integrale richiesto, con l'asintoto $y = -e$:
$\int_{-\infty}^0 (-e + xe^x)-(-e) dx$
$\int_{-\infty}^0 xe^x dx$
Per comodità risolvo prima l'integrale indefinito:
$\int xe^x dx$
Procediamo per parti considerando:
$ f(x) = x$ -> $f'(x) = 1$
$ g'(x) = e^x$ -> $ g(x) = e^x$
Quindi otteniamo:
$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx= xe^x -e^x = e^x(x-1) $
Passiamo all'integrale indefinito:
$ \int_{-\infty}^0 xe^x dx = [e^x(x-1)]_{-\infty}^0$
$ = [e^0(0-1)] - lim_{x\rightarrow -\infty} e^x(x-1)$
$ = -1 - lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x-1}{e^{-x}}$
$ = -1 - 0 = -1$
L'area è naturalmente $A = +1$.
Noemi
