[Risolto] problemi trigonometria

Gli angoli {α, β, γ} sono interni ai vertici {A, B, C}, i cui lati opposti sono {a, b, c}.
Dati
* β = arcsin(4/5) ~= 53° 8'
* γ = 2*β = 2*arcsin(4/5) = arcsin(24/25) ~= 106° 16'
da cui
* α = π - 3*β = π - 3*arcsin(4/5) = arcsin(44/125) ~= 20° 37'
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le misure dei lati {a, b, c} e il circumraggio R sono dati dalla soluzione del sistema che rappresenta il teorema dei seni
* a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2*R ≡
≡ a/(44/125) = b/(4/5) = c/(24/25) = 2*R ≡
≡ 125*a/44 = 5*b/4 = 25*c/24 = 2*R ≡
≡ (b = 25*a/11) & (c = 30*a/11) & (R = 125*a/88)
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Le distanze dei vertici dall'incentro (ipotenusa di un triangolo di cui sono noti un cateto, l'inraggio, e l'angolo opposto che è metà di un angolo interno di ABC) richiedono un po' più di lavoro.
L'inraggio r è il rapporto fra l'area S e il semiperimetro p
* p = (a + 25*a/11 + 30*a/11)/2 = 3*a
* r = S/p = √((3*a - a)*(3*a - 25*a/11)*(3*a - 30*a/11)/(3*a)) = 4*a/11
le distanze risultano
* |IA| = r/sin(α/2) = (4*a/11)/sin(arcsin(44/125)/2) = (10*√5)*a/11
* |IB| = r/sin(β/2) = (4*a/11)/sin(arcsin(4/5)/2) = (4*√5)*a/11
* |IC| = r/sin(γ/2) = (4*a/11)/sin(arcsin(24/25)/2) = 20*a/33