[Risolto] Problemi sulla piramide

L'area di base di una piramide quadrangolare regolare è 576 cm² e l'apotema è 5/6 dello spigolo di base. Calcola l'area della superficie totale di un prisma a base quadrata equivalente alla piramide la cui altezza misura 48 cm.

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Piramide:

spigolo di base $s= \sqrt{576}= 24~cm$;

apotema di base $ap_b= \frac{24}{2}=12~cm$;

apotema $ap= \frac{5}{6}×24 = 20~cm$;

altezza $h= \sqrt{20^2-12^2}=16~cm$;

volume $V= \frac{Ab×h}{3}=\frac{576×16}{3}= 3072~cm^3$.

Prisma a base quadrata equivalente alla piramide:

area di base $Ab= \frac{V}{h}= \frac{3072}{48} = 64~cm^2$;

spigolo di base $s= \sqrt{64}= 8~cm$;

area totale $At= 2·s^2+4·s·h = 2×8^2+4×8×48 = 128+1536 = 1664~cm^2$.

Piramide

Spigolo di base=√576 = 24 cm

Apotema laterale=5/6·24 = 20 cm

Altezza piramide=√(20^2 - (24/2)^2) = 16 cm

Volume piramide=1/3·576·16 = 3072 cm^3

Prisma a base quadrata

Volume= volume piramide = 3072 cm^3

Area di base= volume/ altezza=3072/48 = 64 cm^2

Spigolo di base=√64 = 8 cm

perimetro di base=8*4=32 cm

Superficie laterale=32·48 = 1536 cm^2

Superficie totale=2·64 + 1536 = 1664 cm^2