[Risolto] Problemi sulla circonferenza

Ragionamenti
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a) Scrivere le coordinate del centro C e l'equazione della circonferenza Γ1 di cui siano date le coordinate degli estremi di un diametro A(a, p) e B(b, q).
* C((a + b)/2, (p + q)/2)
* Γ1 ≡ (x - (a + b)/2)^2 + (y - (p + q)/2)^2 = ((a - b)^2 + (p - q)^2)/4
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b) Scrivere l'equazione della circonferenza Γ2 tangente nell'origine alla retta
* t ≡ a*x + b*y = 0 ≡ y = - a*x/b
di pendenza m = - a/b, e che passi per il punto P(u, v).
Se Γ2 tange t in O allora deve avere centro C(k, b*k/a) sulla p, perpendicolare a t in O,
* p ≡ y = b*x/a
e avere come raggio r la distanza
* |CO| = r = √((a^2 + b^2)*(k/a)^2)
da cui
* il fascio Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - b*k/a)^2 = (a^2 + b^2)*(k/a)^2
* il vincolo d'appartenenza (u - k)^2 + (v - b*k/a)^2 = (a^2 + b^2)*(k/a)^2 ≡ k = a*(u^2 + v^2)/(2*(a*u + b*v))
* la circonferenza richiesta
** Γ2 ≡ (x - a*(u^2 + v^2)/(2*(a*u + b*v)))^2 + (y - b*(u^2 + v^2)/(2*(a*u + b*v)))^2 = (a^2 + b^2)*((u^2 + v^2)/(2*(a*u + b*v)))^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - ((u^2 + v^2)/(a*u + b*v))*(a*x + b*y) = 0
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c1) L'ulteriore intersezione X di Γ2 con y = 0 è in
* x = 2*k = a*(u^2 + v^2)/(a*u + b*v)
da cui
* X(a*(u^2 + v^2)/(a*u + b*v), 0)
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c2) Per sdoppiamento della forma normale canonica di Γ2 rispetto ad X si determina la tangente r
* r ≡ x*a*(u^2 + v^2)/(a*u + b*v) + y*0 - ((u^2 + v^2)/(a*u + b*v))*(a*(x + a*(u^2 + v^2)/(a*u + b*v))/2 + b*(y + 0)/2) = 0 ≡
≡ y = (a*(a*u + b*v)*x - (u^2 + v^2)*a^2)/(b*(a*u + b*v))
di pendenza
* m' = a*(a*u + b*v)/(b*(a*u + b*v))
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c3) Verificare che t è perpendicolare alla retta r (m*m' = - 1) è da vedere nel caso specifico.
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Calcoli
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a) Scrivere le coordinate del centro C1 e l'equazione della circonferenza γ1 di cui siano date le coordinate degli estremi di un diametro A(2, 2) e B(- 4, 2).
* C(- 1, 2)
* γ1 ≡ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 ≡
≡ x^2 + y^2 + 2*x - 4*y - 4 = 0
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b) Scrivere l'equazione della circonferenza γ2 tangente nell'origine alla retta
* t ≡ 8*x + 9*y = 0 ≡ y = - 8*x/9
di pendenza m = - 8/9, e che passi per il punto C(- 1, 2).
Quindi
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - 9*k/8)^2 = 145*k^2/64
* (- 1 - k)^2 + (2 - 9*k/8)^2 = 145*k^2/64 ≡ k = 2
* γ2 ≡ (x - 2)^2 + (y - 9/4)^2 = 145/16 ≡
≡ 2*x^2 + 2*y^2 - 8*x - 9*y = 0
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c1) X(4, 0)
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c2) Per sdoppiamento della forma normale canonica di Γ2 rispetto ad X si determina la tangente r
* r ≡ 2*x*4 + 2*y*0 - 8*(x + 4)/2 - 9*(y + 0)/2 = 0 ≡
≡ y = (8/9)*(x - 4)
di pendenza
* m' = 8/9
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c3) A me sembrano pendenze opposte, non antinverse.
Però io sono un po' rimbambito, vedi tu!

 

Confermo quanto hai ottenuto nella prima parte: 

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9

x^2 + y^2 + 2·x - 4·y - 4 = 0

Il punto b) è dato al grafico sopra.

Calcoli

Retta perpendicolare a quella data passante per l'origine (su cui ci deve essere il centro della circonferenza cercata) : 9·x - 8·y = 0

(soddisfa la condizione di perpendicolarità: aa'+bb'=0)

Calcolo asse del segmento:

[-1, 2]

[0, 0]

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + y^2

x^2 + 2·x + y^2 - 4·y + 5 = x^2 + y^2

2·x - 4·y + 5 = 0 asse del segmento che metto a sistema con la retta precedentemente calcolata

{2·x - 4·y + 5 = 0

{9·x - 8·y = 0

Risolvo ed ottengo il centro della circonferenza incognita:

x = 2 ∧ y = 9/4

calcolo r^2 (distanza al quadrato di [2, 9/4] dall'origine: [0, 0])

r^2 = 2^2 + (9/4)^2-----> r^2 = 145/16

equazione della circonferenza incognita:

(x - 2)^2 + (y - 9/4)^2 = 145/16

x^2 - 4·x + y^2 - 9·y/2 + 145/16 = 145/16

x^2 - 4·x + y^2 - 9·y/2 = 0

2·x^2 + 2·y^2 - 8·x - 9·y = 0

Per l'ultimo punto c) arrivo alle stesse conclusioni di @exprof:

2·x^2 + 2·y^2 - 8·x - 9·y = 0

2·(4·x) + 2·(0·y) - 8·(x + 4)/2 - 9·(y + 0)/2 = 0

(8·x - 9·y - 32)/2 = 0

8·x - 9·y - 32 = 0

8·x + 9·y = 0

Non è perpendicolare in quanto:

aa'+bb'≠ 0

cioè non gode della condizione di perpendicolarità