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Problemi moto parabolico

  

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La canna di una pompa antincendio, tenuta vicino al suolo, espelle l'acqua a una velocità pari a 6.5 m/s. A quale/i angolo/i deve essere orientata la canna per fare ricadere l'acqua a una distanza di 2.5 m (fig, 3-36)? Perché gli angoli possibili sono due? Disegnate le due traiettorie

 

Un proiettile viene sparato con una velocità iniziale di 36.6 m/s, a un angolo di 42.2° sopra l'orizzontale, in un poligono di tiro pianeggiante. Determinate (a) la massima altezza raggiunta dal proiettile, (b) il tempo totale di volo, (c) la distanza totale coperta in direzione orizzontale (cioè la gittata) e (d) la velocità vettoriale del proiettile 1.5 s dopo lo sparo.

 

Buongiorno,

sto studiando la cinematica in due dimensioni e ho problemi nella risoluzione di alcuni esercizi che posto di seguito.

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Per ora svolgo solo il primo

 

x = vo t cos a = D

y = vo T sin a - g/2 T^2 = 0

T = 2 vo sin a / g

vo * (2 vo sin a / g)* cos a = D

vo^2/g sin 2 a = D

sin 2a = g D/vo^2

2a = arcsin* (gD/vo^2) V 2a = TT - arcsin* (gD/vo^2)

 

gD/vo^2 = 9.81*2.5/6.5^2 = 0.5804

 

2a = 35.48°   o  2a = 144.52°

a = 17.74°   o  71.26°

 

 




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problema 23

equazione del moto verticale :

0 = Vo*sen Θ*t-g/2*t^2

equazioni del moto orizzontale :

d = 2,5 = Vo*cos Θ*t 

d*g = Vo^2*sen 2Θ

sen 2Θ = 2,5*9,806/6,5^2 = 0,580

Θ = (arcsen 0,580)/2 = 17,725°

la tabella sottostante mostra come vanno le cose al variare di Θ

image

la condizione cercata è quella in rosso , poiché da Y = 0 (spostamento verticale nullo) 

l'angolo minore di alzo Θ è pari a 17,725° mentre 2Θ vale  35,45°; esiste, però un secondo angolo 2Θ' il cui seno a pare al seno di  2Θ e vale 180-2Θ = 144,55° da cui Θ' = 72,28°

Verifica (seno e coseno si scambiano):

angolo minore (17,725°)

g/2*t^2  = 6,5*sen 17,725°*t

t = 2*6,5*0,304/9,806 = 0,4030 sec 

d = Vo*cos 17,725°*t  = 6,5*0,953*0,4030 = 2,50 m 

angolo maggiore (72,28°)

g/2*t'^2  = 6,5*sen 72,28°*t'

t' = 2*6,5*0,953/9,806 = 1,263 sec 

d = Vo*cos 72,28°*t'  = 6,5*0,304*1,263 = 2,50 m 

...un tantino laborioso ma ne siamo venuti a capo

 

problema 26

tempo di caduta t :

t = √2h/g = √910*2/9,806 = 13,62 sec 

distanza orizzontale d = Vox*t = 4,0*13,62 = 54,49 m 

@150 m da terra :

0-760 = -g/2*t'^2 

t' = √2*760/9,806 = 12,45 sec 

Vy = -g*t' = -9,806*12,45 =122,1 m/sec 

 

problema 27

a) altezza massima H

H= Voy^2/2g = (36,6*sen 42,2)^2/19,612 = 30,82 m 

b) 

tempo in volo t = 2*tup = 2*Voy/g = 2*36,6*sen 42,2/9,806 = 2,51 sec 

c)

gittata G = Vo^2/g*sen (2*42,2) = 36,6^2/9,806 *0,995 = 136 m

d)

Vy = Voy-g*t = 36,6*sen 42,2-9,806*1,5 = 9,876 m/sec

Vx = Vox = 36,5*cos 42,2 = 27,05 m/sec 

V = √Vx^2+Vy^2 = √ 9,876^2+27,05^2 = 28,78 m/sec 

 

....che faticaccia 😓

 

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Noto la domanda con una settimana di ritardo, magari l'avevo già vista me ero passato oltre perché mi irritano quelle presentate da chi non ha letto il Regolamento e così m'era sfuggito il quesito vero che, anziché sotto il titolo, è scritto in fondo "sto studiando la cinematica in due dimensioni e ho problemi".
Quindi cerco di scriverti una risposta quanto più dettagliata mi riesce, così ti potrai rendere conto da quali calcoli nascono le formulette che stanno nella pagina riassuntiva.
Voglio sperare che se, invece di rammentare formule riassuntive, impari a sviluppare ciò che occorre direttamente dal modello matematico non dovrai più avere problemi o, almeno, ne avrai di minori.
Ah, importante! Nelle prossime domande le cose importanti scrivile in cima, non in fondo!
------------------------------
La cinematica, se non riguarda corpi rigidi, è cinematica "del punto materiale" cioè di una massa priva di volume e di superficie: astrazione che consente di evitare tutta una serie di considerazioni di balistica che sono invece dovute parlando di oggetti qualsiasi, e specialmente di proiettili.
In particolare il moto parabolico del punto materiale, composizione di due moti rettilinei (un MRU e un MRUA) in direzioni diverse, se l'accelerazione è quella di gravità si usa schematizzarlo come nella mia risposta al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/76278/
da cui ricopio la parte essenziale.
==============================
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
==============================
A) Canna antincendio (Problema 23)
Dati
* h = 0 = vicino al suolo
* V = 6.5 = 13/2 m/s
* (x(T) = V*cos(θ)*T = 2.5 = 5/2 m) & (y(T) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0)
si chiede di determinare gli alzi sia del tiro teso che del tiro a mortaio e di graficare le due traiettorie.
NOTA: si usa l'identità cos^2(θ) = 1/(1 + tg^2(θ)).
------------------------------
Risoluzione (θ in [- π/2, π/2])
* ((13/2)*cos(θ)*T = 5/2) & (((13/2)*sin(θ) - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ (T = 5/(13*cos(θ))) & (((13/2)*sin(θ) - (g/2)*5/(13*cos(θ)))*5/(13*cos(θ)) = 0) & (T > 0) ≡
≡ (T = 5/(13*cos(θ))) & (T > 0) & ((5/2)*tg(θ) - (25/338)*g/cos^2(θ) = 0) ≡
≡ (T = 5/(13*cos(θ))) & (T > 0) & ((5/2)*tg(θ) - (25/338)*g/(1/(1 + tg^2(θ))) = 0) ≡
≡ (T = 5/(13*cos(θ))) & (T > 0) & (tg^2(θ) - (169/(5*g))*tg(θ) + 1 = 0) ≡
≡ (T = 5/(13*cos(θ))) & (T > 0) & (tg(θ) = (169 ± √(169^2 - (10*g)^2))/(10*g))
quindi
* (tg(θ) = (169 - √(169^2 - (10*g)^2))/(10*g)) & (- π/2 <= θ <= π/2) & (g = 196133/20000) ≡
≡ θ = arctg(338000/196133 - 3*√8419538479/196133) ~= 0.3095 rad ~= 17° 44'
oppure
* (tg(θ) = (169 + √(169^2 - (10*g)^2))/(10*g)) & (- π/2 <= θ <= π/2) & (g = 196133/20000) ≡
≡ θ = arctg(338000/196133 + 3*√8419538479/196133) ~= 1.26126 rad ~= 72° 16'
cioè
* tg(θ) ~= 0.3198
oppure
* tg(θ) ~= 3.1268
------------------------------
Traiettorie
* (x = (13/2)*cos(θ)*t) & (y = ((13/2)*sin(θ) - (g/2)*t)*t) ≡
≡ (t = (2/13)*x/cos(θ)) & (y = x*tg(θ) - (2/169)*g*(x/cos(θ))^2)
cioè
* y = x*tg(θ) - (2/169)*(196133/20000)*(x/√(1/(1 + tg^2(θ))))^2 ≡
≡ y = x*tg(θ) - (196133/1690000)*(tg^2(θ) + 1)*x^2
da cui quelle da tracciare, con 196133/1690000 ~= 0.116
* y = x*(0.3198) - (0.116)*((0.3198)^2 + 1)*x^2
oppure
* y = x*(3.1268) - (0.116)*((3.1268)^2 + 1)*x^2
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx*%280.3198%29-%280.116%29*%28%280.3198%29%5E2%2B1%29*x%5E2%2Cy%3Dx*%283.1268%29-%280.116%29*%28%283.1268%29%5E2%2B1%29*x%5E2%5Dx%3D0to2.5%2Cy%3D0to2
==============================
B) Proiettile (Problema 27)
Dati
* h = 0 = poligono di tiro pianeggiante
* V = 36.6 = 183/5 m/s
* θ = 42.2° = (211/900)*π
si chiede di determinare
a) la quota di culmine
b) il tempo di volo
c) la gittata
d) il vettore velocità all'istante t = 1.5 = 3/2 s
------------------------------
Il modello matematico, con approssimazioni decimali a sei cifre,
* g = 9.80665
* sin((211/900)*π) ~= 0.671721
* cos((211/900)*π) ~= 0.740805
si particolarizza in
* x(t) = (27.1135)*t
* y(t) = (24.5850 - (4.90333)*t)*t
* vx(t) = 27.1135
* vy(t) = 24.5850 - (9.80665)*t
* v(t) = (vx(t), vy(t))
---------------
a) La quota di culmine è y(T) con T = Tc > 0 tale che
* vy(T) = 24.5850 - (9.80665)*T = 0 ≡ T = 2.50697 s
* y(T) = (24.5850 - (4.90333)*24.5850/9.80665)*24.5850/9.80665 = 30.8169 m
---------------
b) Il tempo di volo, T = Tv = 2*Tc > 0, è quello per cui
* y(T) = (24.5850 - (4.90333)*T)*T = 0 ≡ T = 5.01394
---------------
c) La gittata è x(T) con T = 2*Tc > 0
* x(T) = (27.1135)*2*24.5850/9.80665 = 135.946 m
---------------
d) il vettore velocità all'istante t = 1.5 = 3/2 s < Tc = 2.50697 s
* v(1.5) = (vx(1.5), vy(1.5)) = (27.1135, 9.87503) m/s
di modulo
* |v(1.5)| = √(27.1135^2 + 9.87503^2) = 28.8558 m/s
e inclinazione
* φ = arctg(9.87503/27.1135) = 0.349278 rad = 20° 0' 44''

 




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