da quale altezza è lanciata la palla

@mardo 

Devi porre:

x = √3·h

sfruttando le equazioni:

{x = 4.2·t

{y = h - 1/2·g·t^2

Devi quindi porre: g = 9.806 m/s^2; y=0

{√3·h = 4.2·t

{0 = h - 1/2·9.806·t^2

Risolvi ed ottieni:

[h = 0 ∧ t = 0, h = 1.20 m circa ∧ t = 0.495 s]

"Qual è l'altezza del punto di lancio?" CIRCA UN METRO E VENTI.
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DA DOVE COMINCIARE
Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa. Quindi
«
Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V = 4.20 = 21/5 m/s e alzo θ = 0. La congiungente LT dei punti L di lancio e T d'impatto a terra è inclinata di 30° sul suolo.
Si chiede la quota del punto di lancio.
»
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Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.

3) Se θ > 0 la traiettoria culmina nell'istante T = V/g > 0 in cui la velocità di salita s'azzera e le coordinate del culmine sono
* x(V/g) = cos(θ)*V^2/g
* y(V/g) = h + (sin(θ) - 1/2)*V^2/g
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Detti, nel sistema Oxy,
* L(0, h)
* T(d, 0)
il triangolo OTL è metà triangolo equilatero con
* |OL| = h = l'incognita dell'esercizio
* |LT| = 2*h = lato del triangolo equilatero
* |OT| = d = (√3)*h = ascissa d'impatto = altezza del triangolo equilatero
quindi la congiungente è
* LT ≡ y = h - x/√3
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Gli altri dati sono
* V = 21/5 m/s
* θ = 0
che danno il modello specifico
* x(t) = (21/5)*t
* y(t) = h - (g/2)*t^2
* vy(t) = - g*t
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L'impatto avviene all'istante t = T > 0 in cui
* (y(T) = h - (g/2)*T^2 = 0) & (T > 0) & (h > 0) & (g > 0) ≡ T = √(2*h/g)
* x(T) = (21/5)*T = (21/5)*√(2*h/g) = d = (√3)*h ≡
≡ h = 294/(25*g) = 294/(25*196133/20000) = 33600/28019 ~= 1.199 m
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"Qual è l'altezza del punto di lancio?" CIRCA UN METRO E VENTI.