[Risolto] da quale altezza è lanciata la palla

"Qual è l'altezza del punto di lancio?" CIRCA UN METRO E VENTI.
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DA DOVE COMINCIARE
Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa. Quindi
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Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V = 4.20 = 21/5 m/s e alzo θ = 0. La congiungente LT dei punti L di lancio e T d'impatto a terra è inclinata di 30° sul suolo.
Si chiede la quota del punto di lancio.
»
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Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.

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Detti, nel sistema Oxy,
* L(0, h)
* T(d, 0)
il triangolo OTL è metà triangolo equilatero con
* |OL| = h = l'incognita dell'esercizio
* |LT| = 2*h = lato del triangolo equilatero
* |OT| = d = (√3)*h = ascissa d'impatto = altezza del triangolo equilatero
quindi la congiungente è
* LT ≡ y = h - x/√3
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Gli altri dati sono
* V = 21/5 m/s
* θ = 0
che danno il modello specifico
* x(t) = (21/5)*t
* y(t) = h - (g/2)*t^2
* vy(t) = - g*t
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L'impatto avviene all'istante t = T > 0 in cui
* (y(T) = h - (g/2)*T^2 = 0) & (T > 0) & (h > 0) & (g > 0) ≡ T = √(2*h/g)
* x(T) = (21/5)*T = (21/5)*√(2*h/g) = d = (√3)*h ≡
≡ h = 294/(25*g) = 294/(25*196133/20000) = 33600/28019 ~= 1.199 m
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"Qual è l'altezza del punto di lancio?" CIRCA UN METRO E VENTI.

@mardo 

Devi porre:

x = √3·h

sfruttando le equazioni:

{x = 4.2·t

{y = h - 1/2·g·t^2

Devi quindi porre: g = 9.806 m/s^2; y=0

{√3·h = 4.2·t

{0 = h - 1/2·9.806·t^2

Risolvi ed ottieni:

[h = 0 ∧ t = 0, h = 1.20 m circa ∧ t = 0.495 s]

h = g/2*t2 

d = V*t

d/h = √3

4,20*t = 1,732*g/2*t^2

t si semplifica 

t =  (4,20*2/(1,732*9,806)) = 0,495 s 

h = g/2*t^2 = 0,495^2*4,9033 = 1,20 m 

Una palla da basket viene lanciata orizzontalmente con una velocità iniziale di 4,20 m/s. La linea retta che unisce il punto di lancio della palla e il punto in cui essa atterra forma un angolo di 30,0° con il piano orizzontale. Qual è l'altezza del punto di lancio?

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Tempo in MRU $\small t= \dfrac{x}{v};$

altezza $\small h= \tan(30°)·x; = 0,577x;$

altezza in MRUA $\small h= \dfrac{g·t^2}{2};$

uguagliando l'altezza:

$\small \dfrac{g·t^2}{2} = 0,577x$

$\small 9,80665·t^2=2·0,577x$

$\small t^2= \dfrac{1,154x}{9,80665}$

$\small t^2= 0,1177x$

sostituisci con il tempo dal MRU:

$\small \left(\dfrac{x}{v} \right)^2=0,1177x$

$\small \dfrac{x^2}{v^2} = 0,1177x$

$\small \dfrac{x^2}{4,2^2} = 0,1177x$

 $\small x^2= 0,1177x·4,2^2$

$\small x^2= 2,08x$

$\small x^2-2,08x=0$

$\small x(x-2,08)=0$

$\small x_1\Longrightarrow x=0$

$\small x_2\Longrightarrow x= 2,08$

quindi la gittata è $\small x= 2,08\,m;$

per cui l'altezza è $\small h= 0,577x = 0,577·2,08 = 1,20\,m.$