Problemi di max e min numerici.

a, b reali non negativi 

Vogliamo massimizzare $ Q(a, b) = a^2 \cdot b^3$ con il vincolo a + b = 3

Il vincolo può essere scritto come a = 3 - b

Introduciamo il vincolo nella funzione Q(a,b) in modo da trasformarla in una funzione di una sola variabile reale

$ Q(b) = (3-b)^2 b^3 = b^5 -6b^4 +9b^3 $

Determiniamo i punti stazionari tramite la derivata prima  

$ Q'(b) = 5b^4-24b^3+27b^2 = b^2(5b^2-24b+27) $

Risolvendo il trinomio troviamo i 3 punti stazionari

1. b = 0 è sicuramente un punto di minimo
2. b = 3 è un altro punto di minimo infatti Q(3) = 0
3. b = 9/5 è un punto di massimo (per Weirestrass + confronto)

Se b = 9/5 allora a = 3-9/5 = 6/5

(6/5, 9/5)

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problemi-di-max-e-min-numerici-5/#post-266217

Qui S = 3, a = 2 e b = 3

x* = 2 *3/(2+3) = 6/5

y* = 3 *3/(2 + 3) = 9/5

e il massimo é  (6/5)^2 * (9/5)^3 = 36*729/3125 = 26244/3125 circa 8.4

Da molto tempo non sfrutto il " Metodo di Lagrange" per le funzioni di due variabili...

max z = x^2·y^3

vincolo:

x + y - 3 = 0  (deve essere espresso nella forma implicita : φ(x,y)=0)

-----------------------------

L(x,y,λ) = x^2·y^3 + λ·(x + y - 3)

C.N. (condizioni necessarie)

{Z'x=0

{Z'y=0

{Z'λ =0

che si scrivono:

{2·x·y^3 + λ = 0

{3·x^2·y^2 + λ = 0

{x + y - 3 = 0

Lo risolvo ed ottengo:

[x = 0 ∧ y = 3 ∧ λ = 0, x = 3 ∧ y = 0 ∧ λ = 0, x = 6/5 ∧ y = 9/5 ∧ λ = - 8748/625]

Quindi considero i tre punti critici dati dalla terna di numeri ottenuta

C.S. (condizioni sufficienti)

Devo considerare le derivate seconde e le derivate prime del 1° membro dell'equazione di vincolo:

L''xx= 2·y^3

L''yy= 6·x^2·y

L''xy=L''yx= 6·x·y^2

φ'x =1

φ'y =1

ed andare a calcolare un determinante del 3° ordine detto Hessiano orlato 

H*=

in corrispondenza dei punti critici trovati.

12·0·3^2 - 2·3^3------> -54 < 0 minimo

12·3·0^2 - 2·0^3------> 0 Caso dubbio

12·(6/5)·(9/5)^2 - 2·(9/5)^3-----> 4374/125 > 0 massimo

zmax = (6/5)^2·(9/5)^3 = 26244/3125