Problemi di max e min numerici.

Questa situazione é un caso particolare di

{ x + y = S

{ x >= 0, y >= 0

{ x^a * y^b = max

Pab(x) = x^a * (S - x)^b = max in [0,S].

La funzione é nulla agli estremi dell'intervallo.

Crescenza

d/dx Pab(x) = a x^(a-1) (S - x)^b - b x^a (S - x)^(b - 1) >= 0

x^(a-1)*(S-x)^(b - 1) * [ a(S - x) - bx ] >= 0

i primi due fattori sono non negativi per cui

aS - (a + b) x >= 0

ed essendo anche a e b positivi

x <= aS/(a+b)

max rel in x = aS/(a+b) => y = bS/(a+b)

ed é assoluto perché la funzione era nulla agli estremi

Nel ns caso S = 2, a = 1, b= 2

x* = 1*2/(1+2) = 2/3 e y* = 2 - 2/3 = 4/3

Infine il valore massimo é 2/3 * 16/9 = 32/27

z = x·y^2 = f(x,y)

con il vincolo x + y = 2

Si deve ricercare il max z

Adoperiamo il metodo diretto:

" trasformiamo la funzione di 2 variabili in una sola variabile mediante sostituzione:

y = 2 - x "

(lo possiamo fare in quanto il vincolo è esplicitabile in y)

z = x·(2 - x)^2---> z = x^3 - 4·x^2 + 4·x

Applichiamo le C.N. y' =0 che si traducono in:

3·x^2 - 8·x + 4 = 0

da cui le soluzioni:

x = 2/3 ∨ x = 2

Quindi vediamo i valori che assume la y'' in questi due punti:

y'' = 6·x - 8

per x = 2/3---> 6·(2/3) - 8= -4 < 0 

per x = 2 ----> 6·2 - 8= 4 >0

Per il primo si ha un max e per il secondo un min

Quindi preso il primo si ha:

y = 2 - 2/3-----> y = 4/3

In corrispondenza il valore della funzione assegnata è: 

z = 2/3·(4/3)^2----> z = 32/27

Interpretazione geometrica: