Problemi di max e min nuemrici

x + y = 2

y = 2 - x

x,y >= 0 => 0 <= x <= 2

x y^3 = max

x(2 - x)^3 = max

1*(2 - x)^3 - x*3(2 - x)^2 >= 0

(2 - x)^2 * (2 - x - 3x) >= 0

2 - 4x >= 0

2x - 1 <= 0

x <= 1/2 é l'intervallo di crescenza

x = 1/2 massimo relativo

anche assoluto essendo il prodotto nullo per x = 0 e x = 2

il valore massimo é 1/2 * (3/2)^3 = 27/16

Siano a, b due numeri reali non negativi

Si vuole massimizzare la funzione $f(a, b) = a \cdot b$ con il vincolo $ a+b = 2$

dal vincolo $a = 2-b$ che sostituito nella funzione ci darà una funzione di una singola variabile
$ f(b) = (2-b)b^3 $

Determiniamo i punti stazionari

$ f'(b) = 6b^2-4b^3 = b^2(6-4b) $

I punti stazionari sono:

1. b = 0 a cui corrisponde $a \cdot b = 0$ che è il valore minimo
2. b = 3/2 dalla quale ricaviamo  a = 2-3/2 = 1/2. 

Per dimostrare che trattasi di un punto di massimo possiamo usare la derivata seconda, 

f"$(b) =  12b-12b^2 = 12b(1-b)$

f"$(\frac{3}{2}) = 12 \frac{3}{2}(1-\frac{3}{2}) = 18(-\frac{1}{2}) < 0 $ quindi è un massimo.