Fido e il ruscello.
Giovanni lega il suo cane Fido a un palo vicino a un ruscello che scorre in linea retta nelle vicinanze. Per fare ciò utilizza una cord lunga 3m. Sapendo che nel grafio le coordinate sono espresse in metri e che il palo è nel punto C, individa i punti P e Q del ruscello più lontani che Fido riesce a raggiungere e calcola la lunghezza del tratto PQ.
20
punti
Livello 0
Modelli la direzione del ruscello con la retta passante per A = (3,3) e B = (6,0)
m = (0 -3)/(6 - 3) = -3/3 = -1
y - 0 = - 1(x - 6) => y = - x + 6
Il contorno della regione entro la quale Fido può muoversi è (un arco del) la circonferenza
con centro in C = (2,1) e raggio r = 3
e la sua equazione è ( x - 2 )^2 + ( y - 1 )^2 = 3^2
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 - 9 = 0
che può essere ridotta in :
x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0
Ora dovrebbe essere semplice continuare : P e Q si trovano attraverso il sistema
retta - circonferenza e poi se ne calcola la distanza, che è la lunghezza della corda
che li ha per estremi.
{ x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 = 0
{ y = - x + 6
x^2 + (-x + 6)^2 - 4x - 2(-x + 6) - 4 = 0 è la risolvente
x^2 + x^2 - 12x + 36 - 4x + 2x - 12 - 4 = 0
2x^2 - 14x + 20 = 0
x^2 - 7x + 10 = 0
x^2 - 2x - 5x + 10 = 0
x(x - 2) - 5(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 5) = 0
per cui xP = 2 => yP = -2 + 6 = 4 => P = (2,4)
xQ = 5 => yQ = -5 + 6 = 1 => Q = (5,1)
PQ^2 = (5 - 2)^2 + (1 - 4)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18
PQ = rad(18) = rad(2*3^2) = 3 rad(2)
37475
punti
Livello 6
equazione retta ruscello :
y = -x+6
per x = 2 , Y = 6-2 = 4
4-1 = 3 m (lunghezza della corda) , per cui mandando la retta _l_ all'asse x e che passa per C si intercetta il ruscello nel punto (2;4) che chiamo P
per y =1 , x = 5
5-2 = 3m (lunghezza della corda) , per cui mandando la _l_ all'asse y e che passa per C si intercetta il ruscello nel punto (5;1) che chiamo Q
lunghezza PQ = 3√2
97207
punti
Genius II
