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[Risolto] Problema universitario

  

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3. i) scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 2 di
h(x) := exp(1-(radice quadrata di x+1))=e×e^-(radice quadrata di x+1)
e ricavarne un’approssimazione di h(/10)
(valore esatto 0;95236);
ii) trovare un coefficiente b tale che (x) := b(radice quadrata di x + 1)-h(x) abbia un punto critico per x = 0
e dire se allora il punto è di massimo o di minimo o non è di estremo.
iii) ritrovare lo sviluppo, questa volta all’ordine 3, sostituendo lo sviluppo di
McLaurin di 1-(radice quadrata di x+1) in quello di exp(t), e dedurne il valore di h^(3) (0)

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I primi due punti.

a) Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine 2 di
h(x)=e^(1 - √(x + 1)) = e·e^(- √(x + 1))
e ricavarne un’approssimazione di h(1/10)
(valore esatto 0;95236);

b) Trovare un coefficiente b tale che f(x) = b·√(x + 1) - e^(1 - √(x + 1))

abbia un punto critico per x = 0
e dire se allora il punto è di massimo o di minimo o non è di estremo.

------------------------------------------------

Lo sviluppo in serie di potenze porta a scrivere: y = x^2/4 - x/2 + 1

arrestato al 2° ordine. Per  x=1/10 si ha:

0.1^2/4 - 0.1/2 + 1 = 0.9525

valore esatto: 

h(1/10)=e^(1 - √(0.1 + 1)) = 0.95236 circa

--------------------------

f(x)=b·√(x + 1) - e^(1 - √(x + 1))

f'(x)=e^(1 - √(x + 1))/(2·√(x + 1)) + b/(2·√(x + 1))

f'(0)=0:

e^(1 - √(0 + 1))/(2·√(0 + 1)) + b/(2·√(0 + 1)) = 0

b/2 + 1/2 = 0----> b = -1

f'(x)=e^(1 - √(x + 1))/(2·√(x + 1)) - 1/(2·√(x + 1))

La derivata 2^ è:

1/(4·(x + 1)^(3/2)) - e^(1 - √(x + 1))·(√(x + 1) + 1)/(4·(x + 1)^(3/2))

per x=0 vale:

f''(0)=1/(4·(0 + 1)^(3/2)) - e^(1 - √(0 + 1))·(√(0 + 1) + 1)/(4·(0 + 1)^(3/2))

f''(0)=- 1/4<0

quindi un max relativo.

 



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