Problema sulla spinta di Archimede

Una pallina di massa 42 g e volume pari a 42 cm³ è collocata 0,56 m sopra la superficie dell’acqua.
La pallina viene lasciata cadere (quindi con velocità a 0,56 m di altezza nulla).
Nell’ipotesi che l’intervallo di tempo trascorso tra il toccare l’acqua e le entrarvi completamente sia trascurabile, calcolare la velocità con cui la pallina entra in acqua e la massima profondità a cui questa arriva prima di ritornare verso la superficie.

V = √2gh = √19,612*0,56 = 3,31 m/sec 

la densità della palla è pari a quella dell'acqua dolce 

coeff. di viscosità ɳ = 8,9*10^-4 Pa*sec 

raggio sfera r = ³√V*/4,2 = ³√42*10^-6/4,2 = 0,0215 m 

F(v) = 6*3,14*8,9*10^-4*0,0215*V

forza gravitazionale m*g = 0,042*9,806 = 0,41 N 

F(v) iniziale = 0,0023 N 

da un calcolo preliminare risulta una forza gravitazionale mg > della forza frenante iniziale dovuta all'attrito , il che significa che la velocità iniziale non diminuisce ma continua ad aumentare fintanto che l'attrito viscoso pareggia la forza gravitazionale ; da quel momento in poi la velocità diventa costante e la sferetta continua a scendere senza fermarsi fino a raggiungere il fondo 

velocità va bene.

1/2 mv^2 = m g h;

v = radicequadrata(2 g h ) =radice(2 * 9,8 * 0,56) = 3,3 m/s;

V immerso della pallina = 42 cm^3 = 0,042 dm^3

d acqua = 1 g/cm^3 = 1 kg/dm^3

F archimede= (d acqua) * 9,8 * V immerso;

F archimede = 1 * 9,8 * 0,042 = 0,41 N; (verso l'alto).

massa pallina  =  0,042 kg;

la pallina ha la stessa densità dell'acqua, quindi F peso e F Archimede sono uguali e contrarie.

F peso = m * g = 0,042 * 9,8 = 0,41  N;(verso il basso);

Frisultante = 0 N, 

La pallina sarà soggetta alla forza d'attrito viscoso dell'acqua che la ferma e la pallina resterà in equilibrio in quel punto dove la velocità diventa v = 0 m/s.

F attrito = m * a = - 6 * π * μ * r * v;

devi trovare il raggio r della pallina.

vedi la risposta di @exprof

ciao @littlestar35

Beata te Stellina, che ti limiti a dire "la seconda mi blocca un pochino"!
Io invece ne rimango scandalizzato, nonostante sia un ammiratore del saggio che raccomandava "μηδὲν ϑαυμάζειν" (= nihil admirari = non val la pena di meravigliarsi di nulla, al peggio non c'è fine, ...).
MI SPIEGO
La situazione è "ripasso del principio di Archimede e relativi esercizi" quindi nelle pagine vicine a quelle dov'è spiegato che galleggiamento o affondamento dipendono dalla densità relativa del solido rispetto al fluido.
Si presenta "Una pallina di massa 42 g e volume pari a 42 cm³ ... sopra ... l'acqua." dove "viene lasciata cadere".
* dF = densità del fluido (acqua) = 1 g/cm^3
* dS = densità del solido (pallina) = (42 g)/(42 cm^3) = 1 g/cm^3
* dr = dS/dF = 1
quindi la spinta d'Archimede equilibra perfettamente la gravità e, senza scambiare né massa né energia meccanica con l'ambiente, la pallina è in equilibrio indifferente.
Quel cretino dell'autore queste cose le sa bene (se addirittura a me, vecchione lontano dalla scuola da anni, è saltato agli occhi in prima lettura!) e tuttavia scrive "prima di ritornare verso la superficie".
Troppo brava Stellina, molto british, che si blocca un pochino e non batte ciglio!
FINE DEL MUGUGNO, adesso penso all'esercizio.
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La pallina entra in acqua con velocità
* V = √(2*g*h) = √(10.983448) ~= √11 ~= 3.3 m/s
e, stante l'equilibrio fra spinta d'Archimede e gravità, è soggetta alla sola forza dell'attrito viscoso
* F = m*a = - 6*π*μ*r*v
opposta alla velocità v.
Con
* m = 0.042 kg
* μ = 1/10^4 kg/(m·s) = viscosità dell'acqua (da 8.9 a 1.004 secondo °C)
* r = (63/(2*π*10^6))^(1/3) ~= 0.02 m = raggio della pallina ((4/3)*π*r^3 = 42/10^6 m^3)
con
* k = 6*π*μ*r/m ~= 6*π*(1/10^4)*(63/(2*π*10^6))^(1/3)/0.042 ~= 0.000967769787 ~= 1/10^3
si ha l'accelerazione frenante
* a = dv/dt = - k*v ≡ dv/dt = - v/10^3
da cui, con un po' di pazienza (che a questo punto io ho esaurita), puoi ricavarti a quale profondità il lavoro dissipativo ha consumato l'energia cinetica del tuffo e alla quale LA PALLINA SI FERMA SENZA RISALIRE.