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[Risolto] Problema sul calcolo della potenza  

  

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Su di un rullo inclinato viene posata, da un’altezza trascurabile, della sabbia ad

un ritmo di dm/dt. Grazie ad un motore che eroga una potenza W, la velocità

del rullo viene mantenuta costante (v0). Il rullo porta la sabbia fino ad una certa

altezza, dalla quale poi essa cade verticalmente con velocità iniziale di modulo v0

su un recipiente posto alla quota base del rullo, h più in basso. Il recipiente è

appoggiato su di una bilancia (vedi disegno). Ad un certo istante t, quando il rullo

è già coperto di sabbia e si è accumulata una massa M di sabbia nel recipiente,

calcolare:

1. la potenza erogata dal motore W;

2. la quantità di moto trasferita alla sabbia dalla bilancia nell’unità di tempo

dq/dt;

3. il peso indicato dalla bilancia P.

 

Sono da ritenere noti i dati numerici di dm/dt, v0, h, M;

 

 

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1) In intervallo di tempo $\Delta t$ una quantità di sabbia pari a $\frac{dm}{dt} * \Delta t$ entra sul nastro e una stessa quantità ne esce. La quantità che esce dal nastro ha energia potenziale $\frac{dm}{dt}* \Delta t *g *h$, prendendo il riferimento del potenziale alla quota di ingresso, mentre l'energia potenziale della sabbia che sale sul nastro nello stesso tempo è nulla (altezza nulla dal riferimento).

Analogamente l'energia cinetica della sabbia che esce sarà pari a

$\frac{1}{2} \frac{dm}{dt} \Delta t  v_0^2$

 

mentre quella che entra sarà nulla (si assume che la sabbia non abbia velocità iniziale, dato che viene detto che la sabbia è depositata sul rullo da un altezza trascurabile).

Pertanto la potenza sarà pari alla variazione di energia potenziale fornita alla sabbia, data solo dalla differenza tra quella che esce e quella che entra sul nastro diviso tale tempo $\Delta t$ (la sabbia che sta sul rullo invece è sempre la stessa quindi non varia la sua energia potenziale), a questo si somma la variazione di energia cinetica con le stesse considerazioni, tutto diviso per tempo:

$P=\frac{dm}{dt} g h+\frac{1}{2} \frac{dm}{dt} v_0^2$

2) Occorre prima trovare la velocità $v_f$ con cui la sabbia cadendo giunge sulla bilancia. Questa si può trovare imponendo che la variazione di energia cinetica tra inizio e fine caduta sia pari alla variazione di energia potenziale. Consideriamo sempre una massa di sabbia pari a $\frac{dm}{dt} \Delta t$ che è la sabbia che cade sulla bilancia nel tempo $\Delta t$.

$\frac{1}{2} \frac{dm}{dt} \Delta t v_f^2 -\frac{1}{2} \frac{dm}{dt} \Delta t v_0^2 = \frac{dm}{dt} \Delta t gh$

(all'inizio in alto la sabbia, trascinata dal rullo, ha velocità verso il basso $v_0$). 

Quindi la velocità finale è pari a:

$\sqrt(2gh+v_0^2)$

 

Per fermare la sabbia la bilancia nel tempo $\Delta t$ deve fornire una quantità di moto pari a

$\frac{dm}{dt} \Delta t \sqrt(2gh+v_0^2)$

quindi nell'unità di tempo sarà:

$\frac{dm}{dt} \sqrt(2gh+v_0^2)$

 

3) A questo punto il peso indicato dalla bilancia sarà dato dal peso della sabbia $M$ accumulato fino a quel momento più la forza che la sabbia esercita sulla bilancia per fermarsi pari alla variazione di quantità di moto nell'unità di tempo.

 

$Mg+\frac{dm}{dt} \sqrt(2gh+v_0^2)$

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PS: Spero si capiscano le formule, non so come si possono riportare sul forum in maniera più chiara...

Spero si capiscano le formule, gradito sapere come riportare le formule correttamente (formato latex non accettato)?

Ciao @fenossua , qui troverai una guida per scrivere le formule sul nostro sito:

https://www.sosmatematica.it/una-scrittura-latex/

@SosMatematica, grazie, conosco il Latex, non ho capito però come inserirlo nel messaggio. Se scrivo per esempio

$x^2$

non viene convertito in visualizzazione con l'esponente, almeno nell'anteprima.

Ho provato sia come testo normale che come codice... sarà banale ma non ho capito come fare.

Il Latex non è visualizzato in anteprima, ora ho modificato il messaggio. Bastava saperlo.... (sarebbe comodo però fosse mostrato in anteprima).

@fenossua si, per adesso non è ancora disponibile in anteprima. Cercheremo di implementare questa funzione prossimamente.

Se invece vuoi una formula centrata basta mettere il doppio $$ prima e dopo la formula 

Ad esempio:

$$x^2$$

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