[Risolto] Problema Simulazione Esame di Stato

(2·t + 2)^2 + (t - 1)^2 + (t + 1)^2 = r^2

6·t^2 + 8·t + 6 - r^2 = 0

Δ/4 = 0

4^2 - 6·(6 - r^2) = 0

6·r^2 - 20 = 0-----> r = - √30/3 ∨ r = √30/3

(2·t + 2)^2 + (t - 1)^2 + (t + 1)^2 = (√30/3)^2

6·t^2 + 8·t + 6 = 10/3

t = - 2/3

Il punto sulla retta:

{x = 2·t + 2

{y = t - 1

{z = t + 1

è:

{x = 2·(- 2/3) + 2

{y = - 2/3 - 1

{z = - 2/3 + 1

Quindi: 

{x = 2/3

{y = - 5/3

{z = 1/3

(2·(- 2/3) + 2)^2 + (- 2/3 - 1)^2 + (- 2/3 + 1)^2 = r^2

10/3 = r^2

sfera tangente alla retta: x^2 + y^2 + z^2 = 10/3

Il piano perpendicolare alla retta nel punto di minima distanza dall'origine è del tipo:

2·x + y + z + d = 0

Quindi:

2·(2/3) + - 5/3 + 1/3 + d = 0----> d = 0

quindi è: 2·x + y + z = 0

 

La funzione da minimizzare é d^2 = x^2 + y^2 + z^2

(2t + 2)^2 + (t - 1)^2 + (t + 1)^2 =

= 4 t^2 + 8t + 4 + t^2 - 2t + 1 + t^2 + 2t + 1 =

= 6t^2 + 8t + 6

il minimo si ha per t* = -b/(2a) = -8/12 = -2/3

e P = (2/3, -5/3, 1/3)

il piano richiesto é del tipo

2x + y + z + d = 0

imponendo il passaggio per P

4/3 - 5/3 + 1/3 + d = 0

d = 0

2x + y + z = 0

 

 

Applicare le definizioni
* r ≡ (x = 2*t + 2) & (y = t - 1) & (z = t + 1)
* cursore di r ≡ R(2*t + 2, t - 1, t + 1)
* direzione di r ≡ (2, 1, 1)
* fascio di piani ortogonali ad r ≡ α(k) ≡ 2*x + y + z + k = 0
* distanza al quadrato ≡ |OR|^2 = f(t) = 6*t^2 + 8*t + 6 = 6*(t + 2/3)^2 + 10/3 >= 10/3
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Il punto P di minima distanza dall'origine si ha dove il cursore ha t = 10/3
* P(2*10/3 + 2, 10/3 - 1, 10/3 + 1) = (26/3, 7/3, 13/3)
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Il vincolo d'appartenenza di P a un α(k) è
* 2*26/3 + 7/3 + 13/3 + k = 0 ≡ k = - 24
da cui il piano richiesto
* α(- 24) ≡ 2*x + y + z - 24 = 0