[Risolto] Problema parabola e simmetria

ATTENZIONE: il problema è sottospecificato e pertanto risulta MALPOSTO per carenza di vincoli, il risultato è indeterminato fra due istanze alternative.
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Ogni parabola Γ non degenere che abbia
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione di forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
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Le condizioni di passare per A(- 3, 2) e per B(3, - 2) determinano due dei tre parametri lasciandone uno libero di variare per costituire il fascio richiesto
* (2 = h + a*(- 3 - w)^2) & (- 2 = h + a*(3 - w)^2) & (a != 0) ≡
≡ (w = 1/(3*a)) & (h = - (81*a^2 + 1)/(9*a))
da cui l'equazione del fascio
* Γ(a) ≡ y = a*x^2 - 2*x/3 - 9*a
e quella dell'iperbole Λ luogo dei vertici
* (x = 1/(3*a)) & (y = - (81*a^2 + 1)/(9*a)) & (a != 0) ≡
≡ (a = 1/(3*x)) & (y = - (x^2 + 9)/(3*x))
* Λ ≡ x^2 + 3*x*y + 9 = 0
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Vertice sulla retta
* r ≡ y = 1 - 2*x
è ogni intersezione
* r & Λ ≡ (y = 1 - 2*x) & (x^2 + 3*x*y + 9 = 0) ≡
≡ V1(3*(1 - √21)/10, (2 + 3*√21)/5) oppure V2(3*(1 + √21)/10, (2 - 3*√21)/5)
da cui
* (3*(1 - √21)/10 = 1/(3*a)) & ((2 + 3*√21)/5 = - (81*a^2 + 1)/(9*a)) ≡ a1 = (- 1 - √21)/18
* (3*(1 + √21)/10 = 1/(3*a)) & ((2 - 3*√21)/5 = - (81*a^2 + 1)/(9*a)) ≡ a2 = (- 1 + √21)/18
quindi
* Γ(a1) ≡ y = ((- 1 - √21)/18)*x^2 - 2*x/3 + (1 + √21)/2
* Γ(a2) ≡ y = ((- 1 + √21)/18)*x^2 - 2*x/3 + (1 - √21)/2
simmetriche rispetto a V = (V1 + V2)/2 = (3/10, 2/5)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D1-2*x%2C%28y-4%2F5%29*y%3D37%2F5%2Cy%3D%28%28-1-%E2%88%9A21%29%2F18%29*x%5E2-2*x%2F3--%281--%E2%88%9A21%29%2F2%2Cy%3D%28%28-1--%E2%88%9A21%29%2F18%29*x%5E2-2*x%2F3--%281-%E2%88%9A21%29%2F2%5D
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La simmetria rispetto al centro C(u, v) ha la trasformazione
* (x = 2*u - X) & (y = 2*v - Y)
ovvero, rispetto al centro C(- 1, 1)
* (x = - 2 - X) & (y = 2 - Y)
applicandola alla
* γ ≡ Γ(a1) ≡ y = ((- 1 - √21)/18)*x^2 - 2*x/3 + (1 + √21)/2
si ha
* γ' ≡ 2 - Y = ((- 1 - √21)/18)*(- 2 - X)^2 - 2*(- 2 - X)/3 + (1 + √21)/2 ≡
≡ Y = ((1 + √21)*X^2 + 4*(√21 - 2)*X + (7 - 5*√21))/18
e del tutto analogamente puoi procedere se decidi a favore di
* γ ≡ Γ(a2)

Imponendo la condizione di appartenenza dei punti al fascio si ricavano i valori dei parametri b, c

Imponendo la condizione di appartenenza del punto V alla retta determino i valori del parametro a.

Formule di simmetria rispetto ad un punto P(x0;y0) 

{X = 2*x0 - x

{Y = 2*y0 - y

Temo che sul testo ci sia qualche dato sbagliato. Comunque le condizioni che determinano l'equazione della parabola: y = a·x^2 + b·x + c

si possono scrivere tramite il sistema:

{2 = a·(-3)^2 + b·(-3) + c passaggio per A

{-2 = a·3^2 + b·3 + c passaggio per B

{- Δ/(4·a) = - 2·(- b/(2·a)) + 1----> - Δ/(4·a) = b/a + 1

L'ultima condizione esprime il fatto che il vertice stia sulla retta: y = - 2·x + 1

Dalle prime due:

{9·a - 3·b + c = 2

{9·a + 3·b + c = -2

Si ottiene: [a = - c/9 ∧ b = - 2/3]

che inserita nella terza equazione:

- ((- 2/3)^2 - 4·(- c/9)·c)/(4·(- c/9)) = (- 2/3)/(- c/9) + 1

(c^2 + 1)/c = 6/c + 1

che risolta fornisce:

c = - (√21 - 1)/2 ∨ c = (√21 + 1)/2

da cui 2 parabole.

per c = - (√21 - 1)/2

si ha:  a = - (- (√21 - 1)/2)/9----> a = (√21 - 1)/18 

Quindi parabola:

y = (√21 - 1)/18·x^2 - 2/3·x - (√21 - 1)/2

Analoghe considerazioni per trovare la seconda parabola.