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[Risolto] Problema parabola asse parallela asse y e rettangolo

  

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Determinare l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse y, passante per il punto P(2,3) e avente il vertice in V(1,5). Inscrivere nella porzione di piano limitata dalla parabola e dall'asse x un rettangolo in cui la base è doppia dell'altezza e determinare l'altezza.

[y=-2x^2+4x+3, h=[rad(41)-1]/4].

 

Non riesco a determinare l'altezza.

 

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15991380446581511636199
15991380741281707397627
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QUESITO #1
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Ogni parabola Γ con
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
* asse di simmetria parallelo all'asse y
ha equazione
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2 + h
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
"asse di simmetria parallelo all'asse y" vuol dire equazione "y = a*(x - w)^2 + h"
"vertice in V(1,5)" vuol dire equazione "y = a*(x - 1)^2 + 5"
"per il punto P(2,3)" vuol dire vincolo sui parametri "3 = a*(2 - 1)^2 + 5"
Dal vincolo si ricava
* a = - 2
* Γ ≡ y = 5 - 2*(x - 1)^2 = (x - (1 - √(5/2)))*(x - (1 + √(5/2)))
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QUESITO #2
------------------------------
Ogni rettangolo inscritto nel segmento parabolico PVQ, simmetrico rispetto all'asse x = 1, con
* P(1 - √(5/2), 0)
* V(1, 5)
* Q(1 + √(5/2), 0)
dev'essere anch'esso simmetrico rispetto allo stesso asse, cioè avere [con k > 0] i due vertici sull'asse x
* A(1 - k, 0)
* B(1 + k, 0)
e i due su Γ, con ordinata y = 5 - 2*(1 ± k - 1)^2 = 5 - 2*k^2,
* C(1 + k, 5 - 2*k^2)
* D(1 - k, 5 - 2*k^2)
---------------
"la base è doppia dell'altezza" vuol dire che l'altezza vale k, visto che la base vale 2*k, cioè
* (k = 5 - 2*k^2) & (k > 0) ≡
≡ (2*k^2 + k - 5 = 0) & (k > 0) ≡
≡ ((k - (- 1 - √41)/4)*(k - (- 1 + √41)/4) = 0) & (k > 0) ≡
≡ ((k = (- 1 - √41)/4 ~= - 1.85 < 0) oppure (k = (- 1 + √41)/4 ~= 1.35 > 0)) & (k > 0) ≡
≡ (k = (- 1 - √41)/4 ~= - 1.85 < 0) & (k > 0) oppure (k = (- 1 + √41)/4 ~= 1.35 > 0) & (k > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (k = (- 1 + √41)/4 ~= 1.35 > 0) ≡
≡ k = (- 1 + √41)/4 ~= 1.35 > 0
==============================
QUESITO #3
------------------------------
* h = k = (- 1 + √41)/4 ~= 1.35 > 0

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