PROBLEMA GEOMETRIA

Le misure lineari sono in cm, l'area é espressa in cm^2

 

Diciamo H il piede dell'altezza relativa ad AB

Per il Teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ACH 

AH = rad [ AC^2 - CH^2 ] = rad [ 25^2 - 15^2 ] = rad [ 625 - 225 ] = rad(400) = 20

mentre dal triangolo rettangolo CHM si deduce 

HM = rad [ CM^2 - CH^2 ] = rad [17^2 - 15^2 ] = rad [ 289 - 225 ] = rad(64) = 8

Così  AM = AH + HM = 20 + 8 = 28 

e naturalmente per definizione di mediana  MB = AM = 28

AB = AM + MB = 28 + 28 = 56

L'area del triangolo sarà così   S = AB*CH/2 = 56*15/2 = 420 

e infine hAC = 2S/AC = 840/25 = 33.6 

il lato AC di in un triangolo ABC di base AB misura 25 cm la mediana CM è lunga 17 cm e l'altezza CH = 15 cm. calcola area A del triangolo e la misura dell'altezza BH' relativa al lato AC

disegno fuori scala 

altezza CH mandata da C ad AB = 15 cm

CM = 17 cm 

AC = 25 cm 

BH = √BC^2-CH^2 = √25^2-15^2 = 5√5^2-3^2 = 20 cm

HM = √CM^2-CH^2 = √17^2-15^2 = 8 cm 

BM = AM = BH+HM = 20+8 = 28 cm 

AB = AM+BM = 56 cm 

Area A = AB*CH/2 = 28*15 = 420 cm^2

BH = 2A/AC = 840/25 = 168/5 = 33,60  cm 

 

@nadia_moreschi

Ciao e benvenuta. Hai 2 possibilità relative al fatto che su AB hai 2 posizioni possibili per inserire il punto M e di conseguenza di triangoli possibili non ce n'è uno solo ma 2.

1^ possibilità:

Con Pitagora calcolo la proiezione di AC su AB:

AH = √(AC^2 - CH^2) = √(25^2 - 15^2) = 20 cm

Il punto M si trova a destra di H

Quindi determiniamo la misura di HM ancora con Pitagora:

HM=√(CM^2 - CH^2) = √(17^2 - 15^2) = 8 cm

Quindi AM=AH+HM=20+8 = 28 cm

Ne consegue che il lato AB (base del triangolo ABC) in tal caso vale:

AB=2*AM=2·28 = 56 cm

A questo triangolo corrisponde un'area pari a : A=1/2*AB*CH=1/2·56·15 = 420 cm^2

2^ possibilità:

Il punto M si trova a sinistra di H

AM=AH-HM=20-8= 12 cm

Quindi AB=2*AM=2·12 = 24 cm

A questo triangolo corrisponde un'area pari a: A=1/2*AB*CH=1/2·24·15 = 180 cm^2

Misure delle altezze relative al lato AC

1° caso:

h(AC)=2A/AC=2·420/25 = 33.6 cm

2° caso:

h(AC)=2A/AC=2·180/25 = 14.4 cm

 

Valori in cm e cm^2.
Vertici: A, B, C
Angoli interni ad A, B, C: α, β, γ
Lati opposti ad A, B, C: a, b, c
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Fra le prime quattro terne pitagoriche (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17) ce ne sono tre che risolvono l'esercizio.
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1) AHC
* 5*(3, 4, 5) = (15, 20, 25) ==> |AH| = h = 20
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2) CHM
* (8, 15, 17) ==> |HM| = 8
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Puntando in C il compasso con apertura 17 si hanno due intersezioni con AB a distanza 8 da H:
* M1: c/2 = 20 - 8 ==> c = 24
* M2: c/2 = 20 + 8 ==> c = 56
3) ABC
* (7, 24, 25) ==> a = 7
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) Area S = h*c/2 = (15/2)*c
* S1 = (15/2)*24 = 180
* S2 = (15/2)*56 = 420
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B) Altezza k = 2*S/b = (3/5)*c
* k1 = (3/5)*24 = 72/5
* k2 = (3/5)*56 = 168/5
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VERIFICHE
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%280%2C0%29%2824%2C0%29%2820%2C15%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%280%2C0%29%2856%2C0%29%2820%2C15%29