[Risolto] problema funzione+autoinduzione

Per $0 \leq t \leq 3$ la funzione vale

$i(t)=\frac{t^2+at+b}{(t-4)^2}$

in particolare dal grafico sappiamo che $i(0)=2.5$ quindi

$i(0)=\frac{b}{(0-4)^2}=\frac{b}{16}=2.5$ da cui si ricava $b=2.5*16=40$

inoltre dal grafico mi pare di vadere che $i(3)=1$

$i(3)=\frac{3^2+3a+40}{(3-4)^2}=49+3a$

ma quindi $49+3a=1$ e quindi $3a=-48$ --> $a=-16$

 

affinchè la funzione sia derivabile in $t=3$ è necessario che le due derivate sinistra e destra in $t=3$ coincidano.

La derivata sinistra vale (derivata del quoziente di funzioni):

$\frac{(2t-16)(t-4)^2-(t^2-16t+40)*2(t-4)}{(t-4)^4}$

la quale in $t=3$ vale $-8$:

La derivata destra vale

$-ce^{-c(t-3)}$ e questa in $t=3$ vale $-ce^{-c(3-3)}=-c$

quindi $-c=-8$ ovvero $c=8$

B)

va calcolata la derivata di $i(t)$ cambiata di segno. Per $t>3$ il suo valore massimo lo sappiamo già, vale $8$ e accade per $t=3$.

per $0 \leq t \leq 3$ la derivata cambiata di segno vale:

$-\frac{di(t)}{dt}=-\frac{(2t-16)(t-4)^2-(t^2-16t+40)*2(t-4)}{(t-4)^4}$

$-\frac{(2t-16)(t-4)-(t^2-16t+40)*2}{(t-4)^3}$

$-\frac{2t^2-8t-16t+64-2t^2+32t-80}{(t-4)^3}$

$-\frac{8t-16}{(t-4)^3}$

è chiaro che il massimo si ha massimizzando il numeratore e minimizzando il denominatore e questo accade per $t=3$, in cui tale derivata assume valore $8$.

Quindi la derivata della corrente cambiata di segno è massima per $t=3$ $ms$, e quindi anche la tensione indotta è massima per $t=3$ $ms$