[Risolto] derivate direzionali

Ciao! 
Il limite che hai proposto è abbastanza "scomodo", ma cerchiamo di venirne a capo.

Per prima cosa va studiata la continuità: se la funzione non è continua in un intorno del punto, non ha senso studiarne la differenziabilità. Impostiamo, quindi, il limite:

$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{xsin(x^2+y^2)}{x^2+y^4} = $

Ricordando lo sviluppo di McLaurin del seno:

$ = \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x(x^2+y^2)}{x^2+y^4} $

Passando in coordinate polari:

$ = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^3}{\rho^2(cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta)} = \lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho}{cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta} $

A questo punto saremmo tentati di dire che il limite vale 0. In realtà, però, notiamo che avvicinandoci all'origine lungo delle parabole (con asse parallelo all'asse x) del tipo $ (at^2,t) $ otteniamo:

$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{at^2(a^2t^4+t^2)}{a^2t^4+t^4} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{a(a^2t^2+1)}{a^2+1} = \frac{a}{a^2+1} $

Come si nota, il risultato dipende da a, quindi il limite non esiste e la funzione non è continua in un intorno dell'origine, quindi non è ivi differenziabile.

Per tale ragione, rispondendo alla tua seconda domanda, non vale la formula del gradiente.

Per il calcolo della derivata direzionale, non valendo la formula del gradiente, dobbiamo applicare la definizione.

Poiché consideriamo i versori nel piano (dipendenti solo da due coordinate), possiamo considerare il generico versore appartenente alla circonferenza goniometrica (centro l'origine e raggio unitario) come:

$ \vec{v}=(cos\theta, sin\theta) $

A questo punto sfruttiamo la definizione di derivata direzionale:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+hv_{x},y_{0}+hv_{y})-f(x_{0},y_{0})}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{hcos\theta sin(h^2cos^2\theta+h^2sin^2\theta)}{h(h^2cos^2\theta+h^4sin^4\theta)}= $

$ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{hcos\theta(h^2(cos^2\theta+sin^2\theta))}{h^3(cos^2\theta+h^2sin^4\theta)} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^3cos\theta}{h^3(cos^2\theta+h^2sin^4\theta)} = $

$ = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{cos\theta}{cos^2\theta+h^2sin^4\theta} = \frac{1}{cos\theta} $

(Mi sembra evidente che tu debba considerare solo quei valori di theta che non annullano il denominatore: per queste direzioni, la derivata direzionale nel punto non esiste).

Ovviamente se scegli la sostituzione che avevi suggerito nei commenti (quindi in forma cartesiana), anche il risultato sarà diverso per ovvi motivi.

Spero di esserti stato d'aiuto, per qualsiasi dubbio chiedi. 😉