Una giovane ginnasta ha una massa m = 45 kg e si
appende all'estremità inferiore di una fune appesa
un softitto.
La corda può sopportare fino a una tensione di mo-
dulo 530 N; oltre questo valore la fune si spezza. La
ginnasta parte da ferma, da una posizione in cui la
fune forma un angolo a con la direzione verticale e
comincia a oscillare. Trascura l'attrito con l'aria e la
massa della fune.
Determina l'ampiezza massima che deve avere
l'angolo a affinché la fune non si spezzi.
15
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Livello 0
peso Fp = m*g = 45*9,806 = 441 N
Δ forza = 530-441 = 89 N = m*V^2/L
V^2 = 2*g*Δh
Δh = L(1-cos α)
V^2 = 2*g*L(1-cos α)
89 = m*V^2/L = 45*2*g*L(1-cos α)/L = 90*g*(1-cos α)...(L si semplifica)
1-cos α = 89/(90*9,806) = 0,101
cos α = 0,899
α = arccos 0,899 = 26,0°
96803
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Genius II
@EidosM ...grazie del gradimento manifestato
Nel punto più basso dell'oscillazione, la velocità è massima, quindi anche la tensione della fune è massima perché alla forza peso ( m * g), si aggiunge la forza centripeta (m * v^2/L), necessaria per rimanere sulla curva.
L è la lunghezza della fune. Guarda la figura.
T = m g + m v^2/L;
La ginnasta si porta ad altezza h spostando la fune di un angolo alfa;
h = L - L cos(alfa) = L * [1 - cos(alfa)];
ad altezza h la ginnasta ha energia potenziale m g h che si trasforma in energia cinetica 1/2 m v^2.
1/2 m v^2 = m g h;
v^2 = 2 g h;
v^2 = 2 g L [1 - cos(alfa)];
T = m * g + m * 2 g L [1 - cos(alfa)] / L ; L si semplifica.
T = m * g + 2 m g * [1 - cos(alfa)]
T massima = 530 N;
2 m g [1 - cos(alfa)] = T - m g;
[1 - cos(alfa)] = (T - m g ) / (2 m g);
cos(alfa) = 1 - [(T - m g ) / (2 m g)];
cos(alfa) = 1 - [(530 - 45 * 9,8) /(2 * 45 * 9,8)];
cos(alfa) = 1 - [89 / 882];
cos(alfa) = 1 - 0,1009 = 0,899;
alfa = arcos (0,899) = 26°
@anna_baldares ciao.
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Genius I
