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[Risolto] Problema elaborato Condensatori

  

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Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio 𝑅, viene collegato a un generatore di corrente continua.
2. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza 𝑟 < 𝑅 dall’asse del condensatore può essere espresso dalla formula
𝐵 = μ ε 𝑟 ⋅ 𝑑𝐸, 0 02 𝑑𝑡
dove il termine 𝑑𝐸 rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature. 𝑑𝑡
3. Dimostra che, durante la fase di carica, la corrente di spostamento tra le armature è espressa da
𝑖 =𝑄0⋅𝑒−𝑡, 𝑠ττ
dove 𝑄0 rappresenta la carica depositata sull’armatura positiva del condensatore al termine del processo.

4. Le armature del condensatore hanno raggio 𝑅 = 10 cm. Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo Δ𝑡 = 5τ = 1,5 s e che 𝑄0 = 5,6 ⋅ 10−7 C, calcola il
campo magnetico indotto a distanza 𝑟 = 𝑅 dall’asse del condensatore dopo Δ𝑡′ = 1,0 s.

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1 Risposta
2

TRACCIA SEGUITA!!!

Un condensatore piano ideale, con armature circolari di raggio 𝑅, viene collegato a un generatore di corrente continua.
2. Dimostra che il campo magnetico indotto a distanza 𝑟 < 𝑅 dall’asse del condensatore può essere espresso dalla formula
𝐵 = μ ε 𝑟 ⋅ 𝑑𝐸, 0 02 𝑑𝑡 ---> B= μ_0 ε_0 r/2*dE/dt

dove il termine dE/dt rappresenta la variazione istantanea del campo elettrico tra le armature. 

3. Dimostra che, durante la fase di carica, la corrente di spostamento tra le armature è espressa da
𝑖 =𝑄0⋅𝑒−𝑡, 𝑠ττ   --->        i(t) =  (Qo/tau)e^-(t/tau)
dove 𝑄0 rappresenta la carica depositata sull’armatura positiva del condensatore al """termine del processo""".

4. Le armature del condensatore hanno raggio 𝑅 = 10 cm. Sapendo che il condensatore può dirsi completamente carico dopo Δ𝑡 = 5τ = 1,5 s e che 𝑄0 = 5,6 ⋅ 10−7 C, calcola il
campo magnetico indotto a distanza 𝑟 = 𝑅 dall’asse del condensatore dopo Δ𝑡′ = 1,0 s.

                                                         svolgimento
2)
intanto la legge di ampere-maxwell dice:

circuitazione di B_ sul contorno di S = mu0*eps0*flusso di d(E_)/dt attraverso S

ORA nell' ipotesi di uniformità:
circuitazione di B_ sul contorno di S = B*2*pi*r

flusso di d(E_)/dt attraverso S = pi*r²*dE/dt
quindi:

            B*2*pi*r = mu0*eps0*pi*r²*dE/dt        -->       B*2 = mu0*eps0*r*dE/dt
cioè la formula da dimostrare al punto2

B= μ_0 ε_0 r/2*dE/dt ---> OK!
3)

dallo studio riportato in figura per il transitorio RC

transitorioRCeq1 diff

si sostituisce , PER EVITARE CONFUSIONE col campo elettrico la E DELLA FIGURA , con fem...

q(t) = fem*C + k *e^-(t/tau) ---> integrale generale della q(t)

supposto scarico C all'inizio della carica       --->     q(0) = 0 , si ha:

q(0) = fem*C + k *e^-(0/tau)     --->      0 = fem*C + k        --->      k = -fem*C = Qo

                             {Q0  --->valore di regime della carica secondo la traccia}

per cui l'integrale particolare cercato è:

            q(t) = fem*C - fem*C*e^-(t/tau)               --->                 integrale particolare della q(t)

e quindi derivando:

                i(t) = dq(t)/dt= (fem*C/tau)e^-(t/tau) = (Qo/tau)e^-(t/tau) ---> OK!!!

4)

{ricordo che, tra le piastre di C, è |E_|= |D_|/eps0 = sigma/eps0 = qs/(eps0*pi*r²) in caso di uniformità come qui(!), ... HO INDICATO CON qs la carica attraverso S = pi*r²}

... sostituendo nella legge riportata al punto 2 di Ampere-Maxwell si ha:

B*2pir = muo*pi*r²* d(qs/pir²)/dt ---> B*2pir = mu0*dqs/dt ---> B = mu0/(2pir) *dqs/dt

... ricordando , per l'uniformità di E = sigma/eps0, che il rapporto tra la totale q attraverso S(R) = pi*R² sta alla qs attraverso S(r) con r < R è per i dati della traccia:

qs/q = pi*r² /pi*R² ---> qs = q(r/R)² ---> qs = q(1/5)²---> qs = q/25

                 quindi                     dqs/dt = (1/25)dq/dt

                                            B = mu0/(2pir)* (1/25)dq/dt

supponendo di essere in fase di scarica {quindi fem=0} a partire da Q_0=5,6∙〖10〗^(-7) C per un NUOVO Δt^'=1,0 s

dq/dt = -(1/0.3)(5.6*10^-7-(fem*C) )*e^-(t/tau) --> diviene con fem=0 ---> dq/dt = -(1/0.3)(5.6*10^-7) )*e^-(t/0.3)

B = |mu0/(2pir)* (1/25)dq/dt|= |- mu0/(2pir)* (1/25)(1/0.3)(5.6*10^-7 )*e^-(t/0.3)| = mu0/(2pir)* (1/25)(1/0.3)(5.6*10^-7 )*e^-(t/0.3) = 4pi*10^-7/(2pir)* (1/25)(1/0.3)(5.6*10^-7 )*e^-(t/0.3) = 2*10^-7/(25r*0.3)(5.6*10^-7 )*e^-(t/0.3) = (1.49333×10^-14 e^(-3.33333 t))/r

che per r = 2cm e t = 1s fornisce...

B = 2.66366... × 10^-14 T ---> RICONTROLLA!!!

-----------------------------------------------fine svolgimento----------------------------------------------

 

.....................................PRIMA RISPOSTA (POCO CHIARA!).............................................

vedi a questo link   2° tentativo che  RISPONDE A QUESTA TRACCIA!!!

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizio-di-fisica-14/#post-21838

... per la 3)... che ivi manca ...

dalla:

q(t) = fem*C + k *e^-(t/tau) ---> integrale generale della q(t)

supposto scarico C all'inizio q(0) = 0 e si ha

q(0) = fem*C + k *e^-(0/tau) ---> 0 = fem*C + k ---> k = -fem*C = Qo

per cui l'integrale particolare cercato è:

q(t) = fem*C - fem*C*e^-(t/tau) ---> integrale particolare della q(t)

e quindi derivando:

i(t) = dq(t)/dt= (fem*C/tau)e^-(t/tau) = (Qo/tau)e^-(t/tau)   ---> OK!!!

 

P.S.

 

  • ANCHE PER LO STAFF

 

... NON SO QUALE EDITOR tu abbia usato  ma ci sono nella traccia delle cose incomprensibili!

  1. Nel punto 3 cosa si intende per k?

@nik ...great job

  1. Nel punto 3 cosa si intende per k?
 
 
mancherà nella soluzione effettiva  ---> integrale particolare!
 






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