[Risolto] Problema di Trigonometria IV Liceo Scientifico

Partiamo dalla misura di AB = lq

Deve essere lq * rad(2) = D = 2 r

per cui lq = 2r/rad(2) = r rad(2) => Sq = (r rad(2))^2 = 2r^2

e così la funzione f(x) si scrive 2 rad(2) * S[ABC]/(2 r^2) = rad(2)/r^2 * S[ABC].

Consideriamo adesso il lato AC. Sull'arco ad esso associato, insiste, come angolo

alla circonferenza, l'angolo x. Pertanto risulta AOC^ = 2x e per il Teorema di

Carnot sul triangolo AOC,

AC^2 = r^2 + r^2 - 2 r * r cos 2x = 2r^2(1 - cos 2x) = 2r^2 *2 sin^2(x) =

= 4 r^2 sin^2(x) per le formule di bisezione.

Così risulta   AC = 2 r sin x .

Adesso notiamo che poiché AB é il lato del quadrato inscritto nella circonferenza,

AOB^ = pi/2 

per cui BOC^ = pi/2 - AOC^ = pi/2 - 2x

e quindi, essendo CAB^ angolo alla circonferenza associato perché insiste

sull'arco BC,

CAB^ = (pi/2 - 2x)/2 = pi/4 - x

e dovendo essere CAB^ >= 0

ne seguirà   pi/4 - x >= 0 => x <= pi/4.

 

Ne segue quindi

S[ABC] = 1/2 AC*AB sin CAB^ =

= 1/2 * 2 r sin x * r rad(2) * sin (pi/4 - x) =

= r^2 rad(2) sin x sin (pi/4 - x)

e allora

 

f(x) = rad(2)/r^2 * r^2 rad(2) sin x sin (pi/4 - x) =

= 2 sin x sin (pi/4 - x), con 0 <= x <= pi/4.

Infine osserviamo che essendo

cos(a - b) = cos a cosb + sin a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sottraendo si ha pure

(cos (a-b) - cos(a+b)) = 2 sin a sin b

sin a sin b = 1/2 * [ cos(a-b) - cos(a+b)]

 

per cui

f(x) = 2* 1/2 * [ cos (x - pi/4 + x) - cos (x + pi/4 - x) ] =

= cos (2x - pi/4) - cos pi/4

 

e in definitiva

f(x) = cos (2x - pi/4 ) - rad(2)/2    con 0 <= x <= pi/4.