[Risolto] Problema

A) CASO GENERALE
In un rettangolo la base misura b > 0 e l'altezza misura h > 0.
Se la base varia di x > - b e l'altezza varia di x > - h
di quanto variano perimetro e area del rettangolo?
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Misure prima delle variazioni
* perimetro p = 2*(b + h)
* area S = b*h
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Misure dopo le variazioni
* perimetro p' = 2*(b + x + h + y) = 2*(b + h) + 2*(x + y) = p + 2*(x + y)
* area S' = (b + x)*(h + y) = b*h + b*y + h*x + x*y = S + (b*y + h*x + x*y)
cioè
* * perimetro p' = p + 2*(x + y) = p + Δp
* area S' = S + (b*y + h*x + x*y) = S + ΔS
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"di quanto variano perimetro e area del rettangolo?"
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A1) Variazioni assolute
* Δp = 2*(x + y)
* ΔS = (b*y + h*x + x*y)
RISPOSTA: il perimetro varia del doppio della somma delle variazioni; l'area della somma fra il loro prodotto e i prodotti in croce con l'altra dimensione.
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A2) Variazioni relative
* δp = Δp/p = (x + y)/(b + h)
* δS = ΔS/S = (b*y + h*x + x*y)/(b*h) = (y/h + x/b + x*y/S)
RISPOSTA: il perimetro varia del rapporto fra la somma delle variazioni e quella delle dimensioni originali; l'area varia della somma fra tre rapporti: quelli fra ciascuna variazione e la sua dimensione originale più quello fra il prodotto delle variazioni e l'area originale.
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A3) Variazioni percentuali
* δp% = 100*Δp/p = (100*(x + y)/(b + h))%
* δS% = 100*ΔS/S = (100*(b*y + h*x + x*y)/(b*h))% = (y/h + x/b + x*y/S)%
RISPOSTA: il centuplo per cento delle variazioni relative.
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B) CASO DELL'ESERCIZIO
* b = (a + 3)
* h = (a + 2)
* x = b = (a + 3)
* y = 3
* p = 2*(b + h) = 2*(2*a + 5) = (4*a + 10)
* S = b*h = (a + 3)*(a + 2) = (a^2 + 5*a + 6)
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"di quanto variano perimetro e area del rettangolo?"
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B1) Variazioni assolute
* Δp = 2*(x + y) = 2*(a + 6) = (2*a + 12)
* ΔS = (b*y + h*x + x*y) = (a^2 + 11*a + 24) = (a + 8)*(a + 3)
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B2) Variazioni relative
* δp = Δp/p = (a + 6)/(2*a + 5)
* δS = ΔS/S = (a + 8)*(a + 3)/((a + 3)*(a + 2)) = (a + 8)/(a + 2)
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B3) Variazioni percentuali
* δp% = 100*Δp/p = (100*(a + 6)/(2*a + 5))%
* δS% = 100*ΔS/S = (100*(a + 8)/(a + 2))%

b = a + 3,  h = a + 2

Po = 2*(a+3+a+2) = 2*(2a+5) = 4a+10

So = (a+3)(a+2) = a^2 + 2a + 3a + 6 = a^2 + 5a + 6

b' = 2b = 2(a+3) = 2a+6

h' = a+2 + 3 = a + 5

P' = 2(b' + h') = 2*(2a+6+a+5) = 2*(3a+11) = 6a+22

DP = P' - Po = (6a+22) - (4a+10) = 6a + 22 - 4a - 10 = 2a + 12 = 2(a+6)

S' = b' h' = (2a+6)(a+5) = 2a^2 + 10a + 6a + 30 = 2a^2 + 16a + 30

DS = S' - So = 2a^2 + 16a + 30 - a^2 - 5a - 6 = a^2 +11 a + 24 =

= a^2 + 3a + 8a + 24 = a(a+3) + 8(a+3) = (a+3)(a+8).