Scegliendo a caso due allievi della classe prima, composta da 21 allievi, una volta su due gli studenti scelti portano gli occhiali. Qual è il numero di allievi della classe prima che portano gli occhiali?
Scegliendo a caso due allievi della classe prima, composta da 21 allievi, una volta su due gli studenti scelti portano gli occhiali. Qual è il numero di allievi della classe prima che portano gli occhiali?
Indichiamo con:
x= numero allievi che portano gli occhiali
Poiché la probabilità che due studenti scelti a caso portino entrambi gli occhiali è 1/2, possiamo scrivere:
x/21 * (X-1)/20 = 1/2
dove:
x/21 = pb che il 1° estratto abbia gli occhiali
(x-1)/20 = PB che il 2° estratto abbia gli occhiali
Ciò equivale a risolvere l'equazione:
x² - x - 210 = 0 [ (x² + sx + p) = 0, con s= - 1, p= - 210]
(x-15)*(x+14) = 0
Soluzione accettabile
x= 15
Sia: x= N° studenti con gli occhiali
Quindi 1° estratto con gli occhiali ha probabilità: x/21
Quindi per il 2° estratto con gli occhiali, la probabilità diventa: (x-1)/20
Siccome questo succede una volta su due (indicazione del testo), bisognerebbe scrivere:
(x/21)*((x-1)/20) =1/2
Risolvendo tale equazione di 2° grado si ottiene:
x = 15 ∨ x = -14
Quindi gli alunni che portano gli occhiali sono 15
Portano gli occhiali : n, non li portano : 21 - n
C(n,2) * C(21-n, 0)/C(21,2) = 1/2
n(n-1)/2 = 210 * 1/2
n(n-1) = 210
n^2 - n - 210 = 0
n^2 - 15n + 14n - 210 = 0
n(n-15) + 14(n - 15) = 0
(n - 15)(n + 14) = 0
n = -14 (no) oppure n = 15.
Chiamati a i "quattr'occhi" :
la probabilità p1 che il primo scelto sia un "quattr'occhi" e pari ad a/21
la probabilità p2 che il secondo scelto sia un "quattr'occhi" e pari ad (a-1)/20
la probabilità composta p pari ad 1 su 2 è data dal prodotto p1*p2
a/21*(a-1)/20 = 1/2
2(a^2-a) = 420
a = (2+√4+420*8)/4 = (2+58)/4 = 60/4 = 15