[Risolto] geometria e trigonometria

1)

dimostrare che il lato di un esagono regolare è uguale al raggio del cerchio circoscritto. Reciprocamente un arco di circonferenza la cui corda è lunga quanto il raggio è la sesta parte della circonferenza

L'esagono regolare si compone di 6 triangoli uguali aventi l'angolo al vertice pari a 360/6 = 60° (vedi triangolo OAB sul quale ragioneremo, essendo tutti gli altri triangoli uguali); in aggiunta a ciò il triangolo AOB è anche isoscele avendo come lati obliqui due raggi , per cui i due angoli contigui alla base AB sono uguali e pari a (180-60)/2 = 60° , il che rende il triangolo non solamente isoscele ma anche equilatero , con la conseguenza che il lato AB sia uguale ai raggi OA ed OB appartenenti al cerchio circoscritto.

Analogamente il settore circolare OAB è pari alla sesta parte dell'area del cerchio circoscritto e l'arco di circonferenza AB pari alla sesta parte del perimetro del cerchio circoscritto

2) Dati A (8;-1) e B (7;1), costruire un trapezio isoscele di base AO e lato obliquo AB

il terzo punto ha coordinate (0;0) ed il quarto ha coordinate (1;2)

OA misura √65

AB ed OC misurano √5

BC misura √37 

3) e 4) brillantemente risolti da exProf che saluto 

Evidentemente, dopo "5+ post", non hai ancora letto il
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito. Leggilo, ti sarà utile, soprattutto là dove parla di un solo problema per domanda.
Qui tu ne presenti quattro e non unificabili perché su argomenti differenti.
Però ai primi due è facile dare la stessa risposta: FAI UN DISEGNO IN ISCALA.
E gli ultimi due sono facilmente unificabili rubricandoli come disequazioni goniometriche, una parametrica e l'altra no. Poi, le prossime volte, chiedine uno per volta.
Qui di seguito i conti della serva.
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ESERCIZIO #3
Per quali valori di k la disuguaglianza
* k*cos(x) - sin(x) + 1 >= 0
è vera per ogni x? Cioè, per quali k reali la
* k*cos(x) - sin(x) + 1 < 0 ≡
≡ k < (sin(x) - 1)/cos(x)
è ovunque falsa? PER NESSUN k REALE.
Infatti (sin(x) - 1)/cos(x) non ha minimo: è illimitata in ambo i sensi.
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ESERCIZIO #4
(limitatamente al primo valore buono: ad archi associati e periodo ci pensi da te.)
* sin(x)*tg(x) > 2*sin(x) - cos(x) ≡
≡ sin(x)*tg(x) + cos(x) - 2*sin(x) > 0 ≡
≡ 2*sin^2(π/4 - x)*sec(x) > 0
Escluso x = π/4 che azzererebbe il seno, sin^2(π/4 - x) è positivo.
Quindi
* sin(x)*tg(x) > 2*sin(x) - cos(x) ≡
≡ (cos(x) > 0) & (x != π/4)