data la parabola di equazione y = -x^2 +1 determina su di esso un punto P di ordinata positiva in modo che sia minima la somma dei quadrati delle distanze di P dai punti di intersezioni con l'asse x
data la parabola di equazione y = -x^2 +1 determina su di esso un punto P di ordinata positiva in modo che sia minima la somma dei quadrati delle distanze di P dai punti di intersezioni con l'asse x
14
punti
Livello 0
P = (x, 1 - x^2)
A = (-1,0)
B = (1,0)
PA^2 + PB^2 =
= (x+1)^2 + (1 - x^2)^2 + (x - 1)^2 + (1 - x^2)^2 =
= x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 + 2(1 - 2x^2 + x^4) =
= 2x^2 + 2 + 2 - 4x^2 + 2x^4 =
= 2x^4 - 2x^2 + 4 =
= 2 [ x^4 - x^2 + 1/4 ] + 7/2 =
= 7/2 + 2(x^2 - 1/2)^2
il minimo assoluto di questa espressione si raggiunge quando
x^2 = 1/2 => y = 1 - 1/2 = 1/2
e perché risulti ASCISSA positiva, x = rad(2)/2
Allora P* = (rad(2)/2, 1/2)
e f_min = 7/2
36990
punti
Livello 6
