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[Risolto] Problema di ottimizzazione

  

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Trova per quale valore di a il vertice della parabola di equazzione $y=a x^{2}-2 x+4 \quad$ ha la minima distanza dall'origine.
$$
\left[a=\frac{1}{2}\right]
$$

 

image

Mi servirebbe il numero 430 se possibile, grazie!!!

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Ciao.

y = a·x^2 - 2·x + 4

L'ascissa del vertice è data da: x = - b/(2·a)-----> x = - (-2)/(2·a)

quindi: x = 1/a

In corrispondenza di tale valore la sua ordinata è:

y = a·(1/a)^2 - 2·(1/a) + 4-----> y = 4 - 1/a

Quindi V(1/a, 4 - 1/a)

Quindi il vertice ha distanza dall'origine O(0,0) pari a:

d = √((1/a)^2 + (4 - 1/a)^2)-----> d = √(1/a^2 + (- 8/a + 1/a^2 + 16))

d = √(- 8/a + 2/a^2 + 16)

Quindi la distanza d è minima se minimo risulta il radicando

- 8/a + 2/a^2 + 16= 2·(8·a^2 - 4·a + 1)/a^2

che per a ≠ 0 è sempre positivo

Quindi studiamo la crescenza del radicando attraverso la sua derivata: 

d(2·(8·a^2 - 4·a + 1)/a^2)/da = 4·(2·a - 1)/a^3

4·(2·a - 1)/a^3 > 0 se a < 0 ∨ a > 1/2

4·(2·a - 1)/a^3 < 0 se 0 < a < 1/2

4·(2·a - 1)/a^3 = 0 se a = 1/2

Da tali valori si deduce che: 

image

si ha un minimo del radicando per a=1/2 e pertanto per esso si ha la distanza minima richiesta.

 

 




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Il vertice ha coordinate

xV = -b/(2a) = +2/(2a) = 1/a

yV = a(1/a^2) - 2/a + 4 = 4 - 1/a

per cui d^2 = (xV - 0)^2 + (yV - 0)^2 

d^2 = 1/a^2 + (4 - 1/a)^2 = 2/a^2 - 8/a + 16

Posto 1/a = t    con a =/= 0

devi trovare min_t (2t^2 - 8t + 16) = 2 * min_t (t^2 - 4t + 4 + 4) =

= 2* min_t [ 2^2 + (t - 2)^2 ] che si ottiene quando t - 2 = 0 => 1/a = 2 => a = 1/2

In tale caso, dmin^2 = 2*4 = 8 e dmin = 2 rad 2

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... partendo da @EidosM

 

f=d^2 = 2/a^2 - 8/a + 16

derivando f rispetto ad a :

f'= df/da = 2(-2)/a^3 -8(-1)/a^2  ----> f' = -4/a^3 +8/a^2 = (-4/a + 8) /a^2 = 0 

che per a diverso da zero (-4/a + 8) = 0 ---> a = 1/2

che è un minimo per f (e quindi per d^2) visto che ivi f' cresce .

deriv




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Nel fascio
* Γ(a) ≡ y = a*x^2 - 2*x + 4 ≡
≡ y = a*(x^2 - (2/a)*x + 4/a) ≡
≡ y = a*((x - 1/a)^2 - (1/a)^2 + 4/a) ≡
≡ y = a*(x - 1/a)^2 + (4 - 1/a)
i vertici sono
* V(1/a, 4 - 1/a)
e il loro luogo si ottiene eliminando il parametro dalle coordinate
* (x = 1/a) & (y = 4 - 1/a) → y = 4 - x
---------------
La distanza dall'origine della retta y = 4 - x è
* d = √(((- 1)*0 + 4 - 0)^2/((- 1)^2 + 1)) = 2*√2
e deve coincidere col modulo del raggio vettore di V
* |OV| = √((1/a)^2 + (4 - 1/a)^2) = 2*√2 ≡
≡ (1/a)^2 + (4 - 1/a)^2 = 8 ≡
≡ 2*(1 - 2*a)^2/a^2 = 0 ≡
≡ a = 1/2

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