Problema 1
Considera la famiglia di funzioni $f_a: R \rightarrow R$ definita ponendo
$$
f_a(x)=\frac{x+a}{1+x^2}
$$
dove $a$ è un parametro reale.
1. Dimostra che, per qualsiasi valore di $a$, il grafico di $f_a(x)$ presenta un punto di massimo relativo, un punto di minimo relativo e un solo asintoto.
2. Dimostra che, per qualsiasi valore di $a$, la retta tangente al grafico di $f_a(x)$ nel suo punto $C$ di intersezione con l'asse $y$ ha in comune con il grafico di $f_a(x)$ anche l'intersezione $D$ con l'asse $x$. Determina per quale valore di $a>0$ il segmento $C D$ misura $2 \sqrt{2}$.
3. Indica con $g(x)$ la funzione che si ottiene per il valore $a=2$ trovato al punto precedente. Studia e rappresenta graficamente $g(x)$, limitandoti allo studio della derivata prima.
4. Trova per quale valore di $a$ nella famiglia delle funzioni $f_a(x)$ si ottiene la funzione $h(x)$ che ha il grafico simmetrico rispetto all'origine.
Verifica che $g(x)>h(x)$ per ogni $x$ del loro dominio e calcola l'area compresa tra i grafici delle due funzioni nell'intervallo $[-1 ; 1]$.
