Se h(x)=f(-|x|) con f(x)= ln(e^x +1)
dimostra che l’area compresa tra il grafico di h(x) e l’asse positivo delle x è minore di 2.
Se h(x)=f(-|x|) con f(x)= ln(e^x +1)
dimostra che l’area compresa tra il grafico di h(x) e l’asse positivo delle x è minore di 2.
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Livello 0
$ h(x) := ln(1+e^{|x|})$
nota. La funzione h(x) è una funzione pari, quindi
$ A = \int_{-\infty}^{\infty} h(x) \, dx = 2 \int_0^{+\infty} h(x) \, dx $
$ A = 2 \int_0^{+\infty} ln(1+e^{-|x|}) \, dx $ nota x è positiva
$ A = 2 \int_0^{+\infty} ln(1+e^{-x}) \, dx $
dimostrare che A < 2 significa
$ 2 \int_0^{+\infty} ln(1+e^{-x}) \, dx < 2 $
dimostrare che è valida la seguente disequazione
$ \int_0^{+\infty} ln(1+e^{-x}) \, dx < 1 $
maggioriamo la funzione in (0,+∞) con 1/x², infatti
$ ln(1+e^{-x}) < \frac{1}{x^2} $ Vera, per tutte le x maggiori di 0.
sfruttando la proprietà di monotonia dell'integrale
$ \int_0^{+\infty} ln(1+e^{-x}) \, dx < \int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2} = 1 $
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Livello 6