[Risolto] Problema di goniometria

Ti propongo una soluzione più semplice.

TAN(α) = 99/110 = 0.9

Poi, analogamente:

TAN(2·α) = 99/x

da cui: x = 99/TAN(2·α)

Ma tu sai che:

TAN(2·α) = 2·TAN(α)/(1 - TAN(α)^2)=

=2·0.9/(1 - 0.9^2) = 180/19

Quindi:

x = 99/(180/19)

x = 209/20

x = 10.45 m

Con riferimento alla nomenclatura convenzionale della figura al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Trigonometria#Risoluzione_dei_triangoli_rettangoli
rinomino i punti del tuo esercizio.
* A = base del campanile (invece di B) vertice dell'angolo retto
* C = sommità del campanile (invece di A)
* B = punto di scatto (invece di S)
* B' = punto di vista incognito (invece di T)
e riformulo il quesito.
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Dati
* |AC| = b = 99
* |AB| = c = 110
si chiede di determinare
* |AB'| = c' = x
tale che
* β' = AB'C = 2*β = 2*(ABC)
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Il terzo Teorema del link su citato ("In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.") vuol dire
* (c = b*tg(π/2 - β)) & (x = b*tg(π/2 - 2*β)) ≡
≡ (b = c/tg(π/2 - β)) & (x = c*tg(π/2 - 2*β)/tg(π/2 - β))
da cui, con
* tg(π/2 - 2*β)/tg(π/2 - β) = (1 - tg^2(β))/2
* tg(β) = b/c
si ha
* x = c*tg(π/2 - 2*β)/tg(π/2 - β) =
= c*(1 - tg^2(β))/2 =
= c*(1 - (b/c)^2)/2 =
= 110*(1 - (99/110)^2)/2 = 209/20 = 10.45

Posto i = AS e d = AT, hai le seguenti relazioni elementari dedotte dai triangoli rettangoli

i sin a = 99

i cos a = 110

da cui dividendo : tg a = 99/110 = 0.9

Inoltre

d sin 2a = 99

d cos 2a = L

e dividendo ancora     L/99 = cotg 2a =>   L = 99/(tg(2a))

Per la formula di duplicazione della tangente

tg (2a) = 2 tg a /(1 - tg^2(a)) =>     1/tg(2a) = (1 - tg^2(a))/(2 tg (a))

e sostituendo risulta infine    L = 99/2 * (1 - 0.9^2)/(0.9) = 49.5 * 19/90 = 10.45 m.