Problema di geometria analitica sulla circonferenza

Per k=0 e per k=1 si ottengono le equazioni:

{2x+y=3

{3x=6 ———> x=2 per sostituzione:

4+y=3————> y=-1

fascio proprio di rette di centro P(2,-1). Tale fascio si può riscrivere nel seguente modo:

(2x+y-3)+k(x-y-3)=0

quindi rette generatrici:

2x+y-3=0 e x-y-3=0

Poi fai riferimento al disegno allegato:

a) rette // assi

parallela asse x:

Nella (2 + k)·x + (1 - k)·y - 3·(k + 1) = 0 si pone 2 + k = 0------> k = -2

quindi: (2 + (-2))·x + (1 - (-2))·y - 3·(-2 + 1) = 0--------> 3·y + 3 = 0

quindi: y = -1

parallela asse y:

1 - k = 0---->k = 1-------> (2 + 1)·x + (1 - 1)·y - 3·(1 + 1) = 0

x = 2

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b) perpendicolare asse segmento AB: A(-1,1) e B(0,4)

Giocoforza tale retta è parallela al segmento stesso!

m = (4 - 1)/(0 + 1)-----> m = 3

y = x·(k + 2)/(k - 1) - 3·(k + 1)/(k - 1) (esplicitando il fascio!)

(k + 2)/(k - 1) = 3------> k = 5/2

La retta in questione ha equazione: y + 1 = 3·(x - 2)-----> y = 3·x - 7

L'equazione in x e y, parametrica in k,
* r(k) ≡ (2 + k)*x + (1 − k)*y − 3*(k + 1) = 0
rappresenta un fascio di rette (e non la circonferenza del titolo).
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Ha tre casi particolari per l'azzeramento di ciascuno dei coefficienti
A) Per k = - 2: y = - 1, parallela all'asse x.
B) Per k = 1: x = 2, parallela all'asse y.
C) Per k = - 1: y = - x/2, per l'origine.
e un caso generale
D) Per k non in {- 2, - 1, 1}: y = ((k + 2)/(k - 1))*x − 3*(k + 1)
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L'esame dei casi A e B, oltre che rispondere al quesito "a", classifica il fascio come proprio e centrato in C(2, - 1).
Sviluppare, commutare e ridurre converte la forma dell'equazione da
* r(k) ≡ (2 + k)*x + (1 − k)*y − 3*(k + 1) = 0
in
* r(k) ≡ (2*x + y - 3) + k*(x - y - 3) = 0
da cui le generatrici
* 2*x + y - 3 = 0 ≡ y = 3 - 2*x
* x - y - 3 = 0 ≡ y = x - 3
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Quesito a: vedi i casi A e B.
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Quesito b: "perpendicolare all’asse del segmento di estremi A(−1; 1) e B(0; 4)" vuol dire "parallela alla congiungente AB ≡ y = 3*x + 4" che ha pendenza m = 3
Poiché
* r(k) ≡ y = ((k + 2)/(k - 1))*x − 3*(k + 1)
ha pendenza
* m(k) = (k + 2)/(k - 1)
da
* m(k) = (k + 2)/(k - 1) = 3 ≡ k = 5/2
si ha
* r(5/2) ≡ y = 3*x - 21/2