Detto $S$ l'insieme delle soluzioni dell'equazione $10 x+4 y=1$ e $S^{\prime}$ l'insieme delle soluzioni dell'equazione $5 x+k y-3=0$, con $k \in \mathbb{R}$, determina per quale valore di $k$ risulta $S \cap S^{\prime}=\varnothing \mathrm{e}$ per quale valore di $k$ risulta:
$S \cap S^{\prime}=\left\{\left(0 ; \frac{1}{4}\right)\right\}$.
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Livello 0
Nella 1^ domanda si chiede per quale valore di k reale il sistema formato dalle due equazioni relative sia impossibile:
{10·x + 4·y = 1
{5·x + k·y = 3 Deve essere: 10 :5 =4 :k ≠ 1:3 quindi k=2 (si ha 2=2 diverso da 1/3!)
Nella seconda domanda si richiede il valore di k che fornisca x=0 e y=1/4 che è soluzione particolare della 1^. Quindi lo deve essere anche per la seconda:
5·0 + k·(1/4) - 3 = 0---->k = 12
Ciao
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Genius II
Il sistema in (x, y) parametrico in k
* (10*x + 4*y = 1) & (5*x + k*y = 3)
ha l'unica soluzione, anch'essa parametrica in k,
* (x = (k - 12)/(10*(k - 2))) & (y = 5/(2*(k - 2))) & (k != 2)
Quindi
1) Se k = 2 allora il sistema non ha soluzione: S & S' = Ø.
2) Per ottenere
* S & S' = {(x, y) = (0, 1/4)}
occorre e basta avere
* (0 = (k - 12)/(10*(k - 2))) & (1/4 = 5/(2*(k - 2))) & (k != 2)
cioè
* k = 12
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Genius I
