[Risolto] Problema con piano cartesiano e geometria analitica

il triangolo non è rettangolo, si verifica usando Pitagora 

√(6,32^2+4,47^)=7,74

prendo a prestito lo sketch di Luciano che ringrazio e saluto

triangolo ABC 

lato AB = 2√2^2+3^2 = 2√13 u

lato BC = 2√1+2^2 = 2√5 u

lato AC = 2√1+3^2 = 2√10 u

perimetro 2p = 2(√5+√10+√13) u (18,0078..u)

area A = 6^2-(6*4+6*2+4*2)/2 = 14,000 u^2 

non è rettangolo in quanto 5^2+10^2 ≠ 13^2 

triangolo MNP

MN = √1+3^2 = √10 u

NP = √2^2+3^2 = √13 u

PM = √1+2^2 = √5 u 

perimetro 2p' = 2p/2 = 9,0039 (la metà di 2p)

area A' = 3^2-(1*2+1*3+2*3)/2 = 3,5000 u^2 (la 4° parte di A) 

Hai qualche evidente problema con la nomenclatura ("calcolare l’aria", "del rettangolo M,N,P"), ma un po' anche coi significati delle cose di cui si tratta ("Verificare che"). Se non ti spiace riscrivo prima di risolvere.
«Verificare se il triangolo di vertici
* A(1, 5), B(7, 1), C(3, - 1)
sia o no rettangolo e calcolarne l'area.
Detti M, N, P i punti medî dei lati, calcolare il perimetro del triangolo M,N,P.»
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RISOLUZIONE
Si risponde alle due prime richieste (verifica e area) calcolando, per componenti, i segmenti orientati CA, CB, BA e poi facendone tutt'e tre i prodotti scalari (CA.CB, CA.BA, CB.BA) e un qualsiasi prodotto vettoriale (CA × CB).
Invece per la terza non ci sono scappatoie (o, almeno, non me ne vengono in mente) e si devono sommare le tre distanze.
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Segmenti orientati
* CA = A - C = (1, 5) - (3, - 1) = (- 2, 6)
* CB = B - C = (7, 1) - (3, - 1) = (4, 2)
* BA = A - B = (1, 5) - (7, 1) = (- 6, 4)
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Prodotti scalari
* CA.CB = (- 2, 6).(4, 2) = - 2*4 + 6*2 = 4
* CA.BA = (- 2, 6).(- 6, 4) = - 2*(- 6) + 6*4 = 36
* CB.BA = (4, 2).(- 6, 4) = 4*(- 6) + 2*4 = - 16
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Prodotto vettoriale
* CA × CB = (- 2, 6) × (4, 2) = - 2*2 - 6*4 = - 28
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Punti medî
* M = (A + B)/2 = ((1, 5) + (7, 1))/2 = (4, 3)
* N = (B + C)/2 = ((7, 1) + (3, - 1))/2 = (5, 0)
* P = (C + A)/2 = ((3, - 1) + (1, 5))/2 = (2, 2)
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Distanze
* |MN| = |(4, 3) - (5, 0)| = |(- 1, 3)| = √10
* |NP| = |(5, 0) - (2, 2)| = |(3, - 2)| = √13
* |PM| = |(2, 2) - (4, 3)| = |(- 2, - 1)| = √5
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) "ABC è rettangolo?" No, nessun prodotto scalare è zero.
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2) "Quant'è l'area S di ABC?" S(ABC) = |CA × CB|/2 = 14
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3) "Quant'è il perimetro p di MNP?" p(MNP) = √5 + √10 + √13 ~= 9