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[Risolto] Problema con le derivate

  

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Buonasera, ho risolto questo esercizio. Tuttavia quando calcolo la derivata seconda nel punto x=-2 e la pongo =1 ottengo due risultati : c=12 e c=b/a (che non so perché ma devo escludere…) Qualcuno potrebbe spiegarmi perché?

poi avrei bisogno di un chiarimento anche su un altro punto, ossia dove chiede l’equazione della parabola tangente alla curva in A e B. Io ho imposto il passaggio di una generica parabola y=ax^2+bx+c per entrambi i punti di ascissa -2 e +2; ho ricavato c da entrambe e mettendo a confronto ho ottenuto 2b=-2b quindi ho scritto b=0 perché in quel caso sarebbe 0=0. È corretto? O c’è un altro metodo più veloce o semplice? Poi ho semplicemente messo a sistema l’equazione generale avendo sostituito b=0 con la parabola della traccia dopo aver sostituito a, b e c con i valori ottenuti.

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il limite porta ad a = 8

f(x) = (a*x^2+b)/(x^2+c) ---> f(x) = (8*x^2+b)/(x^2+c)

f' = d/dx((8 x^2 + b)/(x^2 + c)) = -(2 x (b - 8 c))/(c + x^2)^2

f'' = d/dx(-(2 x (b - 8 c))/(c + x^2)^2) = -(2 (b - 8 c) (c - 3 x^2))/(c + x^2)^3

 

f''(-2)=0 ---> -(2 (b - 8 c) (c - 3*4))/(c + 4)^3=0 ---> c = b/8, b + 32!=0 or c = 12

f''zero

f'(2) = 1 ---> -(2 *2 (b - 8 c))/(c + 4)^2 =1 ---> c = -2 (sqrt(32 - b) - 6), -2 (sqrt(32 - b) - 8)! =0 or c = 2 (sqrt(32 - b) + 6), 2 (sqrt(32 - b) + 8)!=0

f'uno

... allora se b + 32!=0 c=b/8 e f'(2) = -(2 *2 (b - b))/(c + 4)^2 = 0 contro l'ipotesi! {f'(2) = 1} ... e quindi da escludere! ---> c = 12 ---> (sqrt(32 - b) = 0 ---> b = 32

 

quindi:
f(x) = (8*x^2+32)/(x^2+12) = 8(x^2+4)/(x^2+12)

per la parità...

f(-x) = f(x)  

ora f(-x) = (a*(-x)^2+b)/((-x)^2+c)  = (a*x^2+b)/(x^2+c)  = f(x) per ogni a,b,c != -x^2.

effe

 Io ho imposto il passaggio di una generica parabola y=ax^2+bx+c per entrambi i punti di ascissa -2 e +2; ho ricavato c da entrambe e mettendo a confronto ho ottenuto 2b=-2b quindi ho scritto b=0 perché in quel caso sarebbe 0=0. È corretto?

secondo te? ---> risponde ai due principi di equivalenza ?

 

2b=-2b ---> 4b = 0   ---> b = 0 ---> ok!   --> quindi sì!

{ se la parabola ha l'asse parallelo alle y è così ... altrimenti no ... dalla soluz. pare che il testo intenda questo e va bene}

potevi dedurre dalla parità imposta da -2 e 2 che b=0  ma infine è lo stesso.

le tangenti
y = f'(-2)x + q1 ---> y = -(2 (-2) (32- 8 *12))/(12+ 4)^2* x+q1 = (4 (-64))/(16)^2* x+q1 = -1*x+q1
y = f'(2)x + q2 ---> y = 1* x+q2
per la parità di f y è la stessa ---> f(2) = 8(2^2+4)/(2^2+12) =64/16 = 4

quindi:

y = -x +q1 ---> 4 = +2 + q1 --> q1 = 2

e y = x +q2 ---> 4 = 2 + q2 --> q2 =2

y = -x + 2
y = x +2

tangenti

...........
con a , b e c delle parabola deve essere in A {e lo stesso in B ovvero tangenti di f coincidenti con quelle della parabola} :
y = (2*a(-2)+b)x- a*2^2 + c --> -4a = m = -1 ---> a = 1/4 ---> c = q1 +4a= 2+1 = 3

quindi la parabola tangente in A e B è :

y = ax² + bx + c = ax² + c = x²/4 + 3

 

parabolatangentedaWIKIPEDIA

 

mentre non va ...

Poi ho semplicemente messo a sistema l’equazione generale avendo sostituito b=0 con la parabola della traccia dopo aver sostituito a, b e c con i valori ottenuti.

 




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