[Risolto] Problema cinematica

PROBLEMA DI CINEMATICA

"Un treno parte dalla stazione A e si ferma alla stazione B che si trova a distanza d(AB)= 4 km. Il treno accelera e frena con accelerazione costante di modulo a= 1 m/s^2.

1) Calcolare il tempo minimo necessario a percorrere il tratto AB.

2) ripetere il calcolo nell'ipotesi che il treno non possa mai superare la velocità v= 60 km /h"

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1) Calcolare il tempo minimo necessario a percorrere il tratto AB.

Non si tratta di tempo minimo ma esclusivamente del tempo necessario per andare da A a B, visto che ci sono i paletti riguardanti l'accelerazione fissata in fase di accelerazione ed in fase di decelerazione e che il treno partendo da fermo in A debba poi fermarsi alla stazione B. Quindi il diagramma della velocità deve essere costituito come nella figura seguente:

Quindi il tempo finale di percorrenza sarà dato dal tempo doppio di quello della fase di accelerazione. Ne consegue inoltre che lo spazio percorso nella prima fase sia lo stesso di quello percorso nella seconda fase e quindi il treno raggiungerà la velocità massima dopo aver percorso uno spazio pari a  s = 2000 m.

Calcoliamo quindi il tempo di to di percorrenza nella fase di accelerazione:

{v = a·t

{s = 1/2·a·t^2

Dalla prima t = v/a per sostituzione s = 1/2·a·(v/a)^2----- >    s = v^2/(2·a)

Quindi 2000 = v^2/(2·1)-------- > vmax = 20·√10 m/s  ( circa 63.246 m/s)

Il tempo è pari a t = 20·√10/1= t = 20·√10 s

Ne consegue che: t = 2·(20·√10) = 40·√10 s

2) ripetere il calcolo nell'ipotesi che il treno non possa mai superare la velocità v= 60 km /h

Essendo v=60 km/h= 60/3.6 = 50/3 m/s (cioè circa 16.667 m/s) il diagramma delle velocità subirà la seguente modifica qualitativa:

Cioè il treno una volta raggiunta la velocità max sarà costretto a percorrere un certo tratto con moto uniforme. Ci saranno quindi tre tratti. Nel primo:

{ v = a·t

{ s = 1/2·a·t^2

Per v=50/3 m/s------- > t = 50/3 s (circa 16.667 s) con spazio percorso pari a:

s = 1/2·1·(50/3)^2 = 1250/9 m  (circa s = 138.889 m)

Tale tempo e tale spazio saranno destinati alla fase di decelerazione

Nella fase centrale di velocità costante si dovrà percorrere quindi uno spazio pari a:

s=4000 - 2·1250/9 = 33500/9 m ( circa 3722.22 m)

impiegando un tempo pari a

t = s / v  = 33500/9/(50/3) = 670/3 s (circa 223,33 s)

Quindi il tempo complessivo è:

t=50/3 + 670/3 + 50/3 = 770/3 s ( circa 256.67 s)

il tempo minore lo si ottiene in continua accelerazione (speed up fino a 2 km , speed down da metà percorso all'arresto) : 

V = √2ad = √4000 = 20√10 m/sec 

tacc = V/a = 20√10 sec 

tdec = tacc = 20√10 sec 

t tot = 40√10 = sec 

S = V*(tacc+tdec)/2 = 20√10*20√10 = 400*10 = 4.000 m

 

con limite di velocità a 60 km/h

tacc = 60/(3,6*a) = 16+2/3 = 50/3 di  sec 

tdec = tacc = 50/3 di sec 

Sacc/dec = 60/3,6*50/3 = 277,78 m 

Tvc = (d-Sacc/dec)/V = (4000-277,78)*3,6/60 = 223+1/3 sec = 670/3 di sec 

tempo totale t = 50/3+50/3+670/3 = 770/3 di sec  (256,67)

 

MRUA (Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato)
* x(t) = X + (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
per a = 0 si ha un MRU (Moto Rettilineo Uniforme)
* x(t) = X + V*t
* v(t) = V
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QUESITO #1
Che l'accelerazione in su abbia lo stesso modulo di quella in giù semplifica il problema in quanto, con due leggi orarie simmetriche, il punto d'inversione dev'essere a metà tragitto e il percorso più rapido è quello in MRUA ad accelerazione massima.
Aumento
* x(T) = 0 + (0 + (1/2)*T)*T = 2000 m ≡ T = 20*√10 s
* v(T) = 0 + 1*T = 20*√10 m/s
Diminuzione
* x(t) = 2000 + (20*√10 - (1/2)*(t - 20*√10))*(t - 20*√10)
* v(t) = 20*√10 - 1*(t - 20*√10)
al tempo t = 2*T si ha
* v(2*T) = 20*√10 - 1*(40*√10 - 20*√10) = 0
* x(2*T) = 2000 + (20*√10 - (1/2)*(40*√10 - 20*√10))*(40*√10 - 20*√10) = 4000 m
"il tempo minimo necessario" è
* 2*T = 40*√10 ~= 126.49 s = 2 min 6.49 s
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QUESITO #2
Con un limite di velocità a
* 60 km/h = 50/3 m/s
il tragitto di 4000 m si copre in tre tratte: le due estreme simmetriche come nel Quesito #1, ma caratterizzate non da x = 2000 quanto da v = 50/3; quella intermedia di MRU a 60 km/h.
Prima tratta
* v(T) = 0 + 1*T = 50/3 ≡ T = 50/3 s
* x(T) = 0 + (0 + (1/2)*50/3)*50/3 = 1250/9 m
Terza tratta
Frena per 50/3 s percorrendo 1250/9 m prima di fermarsi.
Seconda tratta
Restano da coprire a 60 km/h i metri residui:
* Δx = 4000 - 2*1250/9 - 2500/9 m
impiegandoci
* Δt = Δx/V = (2500/9)/(50/3) = 50/3 s
"il tempo minimo necessario" è
* 2*T + Δt = 2*50/3 + 50/3 = 50 s
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FOLLIA, SONO PIÙ RIMBAMBITO DEL SOLITO!
Per fare quattro chilometri a 60 km/h ci vogliono quattro minuti (240 s), ma se testa e coda del tragitto sono a velocità inferiore ci vuole di più di 240 s: da qualche parte ho scritto una minchiata a mia insaputa. Se fossi sicuro che è colpa dell'orologio lascerei perdere fino a domattina; ma non lo sono: temo che sia colpa della carta d'identità! Perciò pubblico subito e aspetto che gli amici di SoS mi segnalino la minchiata.
Tu scusami, ti prego.

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AGGIUNTA
@giuliA01
Ho letto il messaggio privato di @Remanzini_Rinaldo (che ringrazio della sollecitudine) e il commento di @StefanoPescetto (che ringrazio della correzione) e ho capito che la bestialità di ieri non era dovuta alla carta d'identità, ma solo all'orologio.
In «Δx = 4000 - 2*1250/9 - 2500/9 m» ho scritto due volte la stessa cosa!
Scrivendo correttamente
* Δx = 4000 - 2*1250/9 = 33500/9 m
si ha
* Δt = Δx/V = (33500/9)/(50/3) = 670/3 s
* 2*T + Δt = 2*50/3 + 670/3 = 770/3 ~= 256.(6) > 240 s
e tutto si tiene.
Scusami ancora.