[Risolto] potete fare la dimostrazione?

@giuliainnocenti

Ciao

Proposta risolutiva. Considero Un quadrato di centro (0.0) nel piano cartesiano ortogonale.

Traccio una circonferenza di raggio pari a √((14/2)^2 + (14/2)^2) = 7·√2

Dico che questa è la misura del lato espressa in cm dell'esagono regolare inscritto in tale circonferenza

(equazione della circonferenza è: x^2 + y^2 = (7·√2)^2--->x^2 + y^2 = 98)

Quindi il lato dell'esagono è di circa:9.9 cm). 

Infatti un esagono regolare ha angoli di (6 - 2)·180/6 = 120° ognuno per una nota proprietà degli angoli interni di un poligono, in questo caso pure regolare. in virtù di tale proprietà è possibile individuare nell'esagono regolare la bellezza di 6 triangoli equilateri ognuno dei quali ha come lato il raggio della circonferenza.

Il cerchio circoscritto al quadrato ha il diametro uguale alla diagonale del quadrato stesso.

d = radice(L^2 + L^2) = L * radice(2);

raggio = d/2 = L * radice(2) / 2 = !4 * radice(2) / 2 =  7 radice(2) cm

L'esagono regolare inscritto nel cerchio precedente ha il lato congruente al raggio del cerchio in cui è inscritto, in quanto è costituito di 6 triangoli con gli angoli tutti di 60°, quindi equilateri.

Il lato dell'esagono è 7 * radice(2) cm = 9,9 cm (circa).

raggio del cerchio r = L/2*√2 = 7√2 cm ( ≅ 9,90)

lato esagono = raggio = 7√2 (esagono composto da 6 triangoli equilateri)

apotema esagono = lato/2*√3 = 3,50√6 cm ( ≅ 8,57)

Il lato "L" di un n-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio "r" è
* L(n) = 2*r*sin(π/n)
---------------
Il quadrato (n = 4) e l'esagono regolare (n = 6) inscritti nella medesima circonferenza hanno lati
* L(4) = 2*r*sin(π/4)
* L(6) = 2*r*sin(π/6)
---------------
La richiesta dell'esercizio è di determinare L(6) in funzione di L(4) il che si ottiene iniziando dal dividere membro a membro le due espressioni
* L(6)/L(4) = (2*r*sin(π/6))/(2*r*sin(π/4)) =
= sin(π/6)/sin(π/4) =
= (1/2)/(1/√2) = 1/√2
e poi moltiplicando membro a membro per L(4)
* L(6) = L(4)/√2
Nel caso specifico (L(4) = 14 cm) si ha
* L(6) = 14/√2 ~= 9.899 ~= 9.9 ~= 10 cm