Durante i test drive sulla pista di una fabbrica di auto, il veicolo in prova viene controllato a distanza. Un dispositivo permette di variarne la velocità, espressa in $\mathrm{km} / \mathrm{h}$, secondo la legge
$$
v(t)=1600 \frac{t}{10 t+1}
$$
In cui $t$ rappresenta il tempo espresso in ore, $\operatorname{con} t \geq 0 .$ Il test dura 3 ore.
Dall'analisi dei consumi si vede che il consumo di carburante in litri per $100 \mathrm{~lm}$ dipende dalla velocità $v \geq 0$ secondo la legge
$$
k(v)=\frac{1000}{250-v}
$$
a) Dimostra che per tutta la durata del test la velocità aumenta, ma non in modo costante e determina la velocità massima raggiunta dall'auto durante il test. Rispetto alla velocità massima potenzialmente raggiungibile dall'auto che è di $160 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, la velocità massima raggiunta durante il test quale percentuale rappresenta?
b) Quanto tempo impiega il veicolo per raggiungere i $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ? qual è il consumo di carburante previsto dal modello, a questa velocità?
