[Risolto] Pendoli composti di diverse lunghezze; stimare il tempo necessario per urto

La legge oraria del pendolo composto è:

$\theta(t) = A \cos(omega t + \Phi)$

dove in questo caso $A= \pi/6$.

La pulsazione è:

$ \omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}$

dove $d$ è la distanza tra il punto di oscillazione e il baricentro (dunque metà asta) e il momento di inerzia nel caso di un'asta che ruota per l'estremità è:

$ I = mL^2/3$

Calcoliamo dunque le pulsazioni dei due pendoli:

$ \omega_1 = \sqrt{\frac{3mg(L_1/2)}{mL_1^2}} = \sqrt{\frac{3g}{2L_1}} = 9.9 rad/s$

$ \omega_2 = \sqrt{\frac{3g}{2L_2}} =  4.9 rad/s = \omega_1/2$

Dunque le due leggi orarie, tenendo conto dei punti di partenza e dei versi opposti delle due velocità angolari, sono:

$ \theta(t)_1 = -\frac{\pi}{6} cos(9.9 t)$

$ \theta(t)_2 = +\frac{\pi/6} cos(-4.9 t)$

Uguagliando le leggi orarie e semplificando otteniamo:

$- cos(9.9t) = cos(-4.9 t)$

che ha come soluzioni:

$ -4.9 t = \pi \pm 9.9 t + 2k\pi$

di quella accettabile (t>0) è:

$ t = \pi/5 = 0.628 s$

 

Noemi