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[Risolto] Non capisco cosa sto sbagliando in questo problema...

  

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Considera la funzione $f(x)=\frac{k-x}{x^{2}+k^{2}}$, con $k$ parametro reale positivo.
c. Considera il solido $\mathrm{S}$ che ha come base $\mathrm{R}$ e le cui sezioni, ottenute con pianı perpendicolari all'asse
x, sono semicerchi. Determina per quale valore di $k$ il volume di S è $\frac{3 \pi(\pi-2)}{160}$

 

9B9CA00D D54B 4B96 ABD0 58B8213D902A

Mi viene il volume negativo, cosa non possibile.

Ho utilizzato il metodo delle sezioni:

V=int(pi(f(x)^2))

E non capisco cosa posso aver potuto sbagliare... mi potreste aiutare???

È molto urgente!

Ringrazio chiunque risponderà!!!

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2 Risposte
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  • Esprimiamo il forma differenziale il volume

dV = Area * dx 

L'area è una semi-circonferenza (l'ho intesa così) di raggio f(x) per cui

dV = π*f²(x)/2 dx

  • integrando tra 0 e k

V = ∫[0^k] π*[(k-x)/(x²+k²)]² /2 dx = (π/2)*[arctan(x/k) - ln√(x²+k²)] in [0^k] =

= (π/2) [π/4 - ln(√2*k) - 0 + ln(k)] = π/8( π - ln(4)) 

C'è qualcosa che non torna. Il risultato dell'integrale non dipende da k.

Penso di aver risposto al dubbio relativo alla semi-circonferenza.  

 




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Il metodo delle sezioni è l'approccio migliore; la formula è corretta ma R ? 

occorre conoscere il dominio di integrazione.

 

e già che ci sei, scrivi il probabile risultato.

 

66B3507C 9A4D 47C5 A0EE E76A6F2B84FC

Il dominio di integrazione sarebbe [0;k]
Riguardo ad R, è una superficie delimitata da una curva (nel primo quadrante) e gli assi x e y (ho allegato una foto).

Quello che mi mette in dubbio però è il raggio della semicirconferenza.

Se R in questione è la base, il raggio della semicirconferenza è f(x) o f(x)/2?

Ah, e riguardo al probabile risultato, sinceramente non ne ho idea.

Risposta



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