N.105 geometria AIUTO

Un triangolo equilatero ha il perimetro 2pe di 72 cm. ed è isoperimetrico  a un triangolo isoscele avente i lati obliqui Li lunghi 20 cm:

calcola l'area di entrambi i triangoli.

triangolo equilatero

lato Le = 2pe/3 = 72/3 = 24 cm

altezza he = Le*0,866 = 20,784  cm

area Ae = Le*he/2 = 20,784*12 = 249,4 cm^2

triangolo isoscele 

perimetro 2pi = 2pe = 72 cm 

base bi = 2pi-2*Li = 72-20*2 = 32 cm

altezza hi =  √li^2-(bi/2)^2 = √20^2-16^2 = 12 cm 

area Ai = bi*hi/2 = 32*12/2 = 192 cm^2

quali dei 2 ha area maggiore ? Il triangolo equilatero : vale la regola che tanto più prossime tra loro sono le misure dei lati , tanto maggiore è l'area a parità di perimetro

Un triangolo equilatero ha il perimetro di 72 cm ed è isoperimetrico  a un triangolo isoscele avente i lati obliqui lunghi 20 cm, calcola l'area di entrambi i triangoli. quali dei 2 ha area maggiore.

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Triangolo equilatero:

lato $l= \dfrac{2p}{3} = \dfrac{72}{3} = 24\,cm;$

area $A= \dfrac{l^2×n°f.}{2} = \dfrac{24^2×\sqrt{\frac{3}{4}}}{2} = \dfrac{576×0,866}{2}\approx{249,4}\,cm^2.$

Triangolo isoscele isoperimetrico:

perimetro $2p= 72,cm;$

base $b= 2p-2×l = 72-2×20 = 72-40 = 32\,cm;$

altezza $h= \sqrt{l^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2-\left(\frac{32}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2-16^2} = 12\,cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti metà base e l'altezza incognita e per ipotenusa il lato obliquo);

area $A= \dfrac{b×h}{2} = \dfrac{32×\cancel{12}^6}{\cancel2_1} = 32×6 = 192\,cm^2.$ 

L'area maggiore l'ha il triangolo equilatero.