matrici ortonormali

Question

Come creare una matrice ortonormale? (I mezzi di cui dispongo sono quelli di un ragazzo di 4°).

Ho capito che sia il prodotto scalare delle righe che quello delle colonne deve essere 1. Quindi a11^2+a12^2=1; a11^1+a21^2=1 ecc.

Ho anche capito che per verificare rapidamente se una matrice è ortonormale, il determinamente dev'essere ±1.

Però non ho capito come devo fare per assicurare la perpendicolarità della matrice, e quindi come fare col prodotto vettoriale.

Per concludere, mi pare di aver capito che in sostanza una volta che ho "creato" a11 e a12, io posso fare che a21=a12 e a22=a11, invertendo però in uno dei due casi il segno. È giusto?

Autore

Risposta

Ferdi8

(@ferdi8)

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28 Risposte
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13/02/2024 12:54

exProf · Accepted Answer

E' quasi giusto.Ad esempio, con la tua procedure, io ho "creato"* A = {{3, - 4}, {4, 3}}* det[A] = 25* trs[A] = A' = {{3, 4}, {- 4, 3}}* inv[A] = {{3, 4}, {- 4, 3}}/25---------------Per verificare/confutare la normalità si deve vedere se A e A' commutino* A.A' = {{3, - 4}, {4, 3}}.{{3, 4}, {- 4, 3}} = {{25, 0}, {0, 25}}* A'.A = {{3, 4}, {- 4, 3}}.{{3, - 4}, {4, 3}} = {{25, 0}, {0, 25}}quindi, assodato che A.A' = A'.A, si verifica che A è normale pur essendo diversa dalla trasposta.---------------Per verificare/confutare l'ortogonalità si deve vedere se A.A' = I, cioè se A' = inv[A].Per ispezione si vede che A non è ortogonale per un fattore di scala k != 1 (A != A' = k*inv[A]).---------------Però con* A = {{3, - 4}, {4, 3}}* det[A] = 25* n = |{3, - 4}| = |{4, 3}| = 5* B = A/n = {{3/5, - 4/5}, {4/5, 3/5}}* det[A] = 1* trs[B] = {{3/5, 4/5}, {- 4/5, 3/5}}* inv[B] = {{3/5, 4/5}, {- 4/5, 3/5}}e quindi la B è ortonormale.

EidosM · Answer

Se la matrice é una 2x2 allora basta porre   [ cos @   sin @ ] [ - sin @ cos @ ] con @ qualunque.   Ad esempio [ 1/2   rad(3)/2 ] [ -rad(3)/2  1/2 ]   rispetta i requisiti di ortonormalità.

[Risolto] matrici ortonormali

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