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[Risolto] Definizione matrice fortemente ridotta

  

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Ciao pasticcini, è da un bel po' di tempo che non ci sentiamo, ma son sempre qui in giro che vi leggo!😀

Sto studiando algebra lineare e non mi è chiarissima la definizione di matrice fortemente ridotta. 

Def. 

Una matrice $A\in \mathbb{R}^{m,n}$ si dice fortemente ridotta (per righe) se:

  • in ogni riga non nulla esiste almeno un’entrata uguale ad 1, detta pivot, tale che tutte le altre entrate della sua colonna sono nulle;
  • se esiste una riga nulla, allora tutte le righe sotto di lei sono anche esse nulle.

Il dubbio che ho è se queste condizioni devono verificarsi contemporaneamente per far si che una matrice sia fortemente ridotta o se debba verificarsi soltanto una delle due.

Esempio:

$A=\begin{pmatrix}3&0&0&-2&1\\ 2&1&3&-1&0\\ -2&0&1&4&0\end{pmatrix}$

In questo caso questa matrice non è fortemente ridotta poiché non soddisfa la prima condizione (la terza riga non ha pivot).

Ma se la terza riga avesse un pivot, sarebbe fortemente ridotta? Oppure no poiché non esiste una riga nulla e quindi non viene rispettata la seconda condizione? 

Grazie in anticipo a chi mi chiarirà questo dubbio 😊 

 

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Allora, rispondo alla tua domanda, se la matrice da te scritta avesse un'entrata non nulla nella terza riga e questa fosse l'unica entrata non nulla di quella colonna, ossia se avesse un pivot, la matrice sarebbe fortemente ridotta per righe. 

Lo sarebbe anche se l'ultima riga della tua matrice fosse tutta nulla.

Dunque le due condizioni sono indipendenti e non devono valere contemporaneamente 

@anguus90 Grazie mille, hai risolto il mio dubbio! 😊






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