Sistemi lineari al variare del parametro k

Ciao. Ecco la soluzione dell'esercizio

La richiesta dell'esercizio è di discutere "il comportamento del sistema" in funzione del parametro k (supposto reale, come le variabili).
La richiesta della domanda è di "vedere l'esercizio svolto" e io ti mostro come lo svolgo io; ogni risolutore ha le proprie idiosincrasie: tu confronta le risposte che riceverai e vedi di trarre da ciascuna le parti che meglio s'adattano alle idiosincrasie tue.
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La prima cosa che faccio io di fronte a equazioni parametriche è di esaminare i casi particolari in cui un certo valore del parametro azzera almeno un coefficiente.
Nel sistema
* ((2*k - 3)*x + (2 - k)*y + 3*(2 - k)*z = 0) & ((k - 5)*x + 4*y + (2 - k)*z = - 3) & ((k + 1)*x + (- 1 - k)*y + z = 3)
tali valori particolari sono quattro
* {- 1, 3/2, 2, 5}
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1) Per k = - 1
* (5*x - 3*y - 9*z = 0) & (6*x - 4*y - 3*z - 3 = 0) & (z = 3) ≡
≡ (x = 36) & (y = 51) & (z = 3) ≡ sistema determinato
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2) Per k = 3/2
* (y + 3*z = 0) & (7*x - 8*y - z - 6 = 0) & (5*x - 5*y + 2*z - 6 = 0) ≡
≡ (x = - 9) & (y = - 9) & (z = 3) ≡ sistema determinato
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3) Per k = 2
* (x = 0) & (3*x - 4*y - 3 = 0) & (3*x - 3*y + z - 3 = 0) ≡
≡ (x = 0) & (y = - 3/4) & (z = 3/4) ≡ sistema determinato
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4) Per k = 5
* (7*x - 3*y - 9*z = 0) & (4*y - 3*z + 3 = 0) & (6*x - 6*y + z - 3 = 0) ≡
≡ (x = - 9/43) & (y = - 30/43) & (z = 3/43) ≡ sistema determinato
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Assodato che per i valori particolari non ci sono casi di impossibilità né d'indeterminatezza, esamino la soluzione generale
* ((2*k - 3)*x + (2 - k)*y + 3*(2 - k)*z = 0) & ((k - 5)*x + 4*y + (2 - k)*z = - 3) & ((k + 1)*x + (- 1 - k)*y + z = 3) ≡
≡ (x = 6*(k - 2)*(k - 3)/((1 - k)*(2*k^2 - k - 2)))) &
& (y = 3*(4*k^2 - 15*k + 15)/((1 - k)*(2*k^2 - k - 2))) &
& (z = 3/(2*k^2 - k - 2))
dalla quale emerge la necessità d'esaminare altri tre valori di k, quelli che annullano uno o più denominatori
* k non in {(1 - √17)/4, 1, (1 + √17)/4}
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5) Per k = (1 - √17)/4
* (z = (2*(√17 + 5)*x/(√17 + 7) - y)/3) & (z = ((√17)*x + 19*x - 16*y - 12)/(√17 + 7)) & (z = (√17 - 5)*x/4 - (√17 - 5)*y/4 + 3) ≡
≡ (mi risparmio la dattilografia) ≡ sistema impossibile
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6) Per k = 1
* (z = - y/3) & (z = 4*x - 4*y - 3) & (z = - 2*x + 2*y + 3) ≡
≡ (x = - 2) & (y = - 3) & (z = 1) ≡ sistema determinato
DEVO AVER SBAGLIATO DA QUALCHE PARTE: IL SISTEMA E' IMPOSSIBILE.
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28%282*k-3%29*x%2B%282-k%29*y%2B3*%282-k%29*z%3D0%29%26%28%28k-5%29*x%2B4*y%2B%282-k%29*z%3D-3%29%26%28%28k%2B1%29*x%2B%28-1-k%29*y%2Bz%3D3%29%26%28k%3D1%29
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7) Per k = (1 + √17)/4
* (z = (2*(√17 - 5)*x/(√17 - 7) - y)/3) & (z = ((√17)*x - 19*x + 16*y + 12)/(√17 - 7)) & (z = (√17 + 5)*y/4- (√17 + 5)*x/4 + 3) ≡
≡ (come sub 5) ≡ sistema impossibile
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CONCLUSIONE
Il sistema proposto non presenta casi d'indeterminatezza per nessun valore del parametro; presenta tre casi di impossibilità per k in {(1 - √17)/4, 1, (1 + √17)/4}; è determinato per ogni altro valore.

@eva_di_sevo

Ciao e benvenuta. Domanda: è obbligatorio seguire le indicazioni fornite dal testo oppure hai la possibilità di risolvere il problema in altro modo?