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Sistemi lineari al variare del parametro k

  

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Salve a tutti, sono nuova da queste parti!

avrei bisogno di un disperato aiuto nel risolvere questo tipo di sistemi lineari al variare del parametro k, se possibile qualcuno mi fa vedere l’esercizio svolto

F81B2233 C3D5 4AF6 A517 FEBAF85E6AB4

 Dopo aver definito la matrice completa, usato il metodo di eliminazione di gauss, e calcolato il determinante, quali sono i passaggi per questo tipo di statemi?
grazie mille a chi mi darà una mano nel farmi vedere l’esercizio svolto. 🤞🏻  

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Ciao. Ecco la soluzione dell'esercizio

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La richiesta dell'esercizio è di discutere "il comportamento del sistema" in funzione del parametro k (supposto reale, come le variabili).
La richiesta della domanda è di "vedere l'esercizio svolto" e io ti mostro come lo svolgo io; ogni risolutore ha le proprie idiosincrasie: tu confronta le risposte che riceverai e vedi di trarre da ciascuna le parti che meglio s'adattano alle idiosincrasie tue.
------------------------------
La prima cosa che faccio io di fronte a equazioni parametriche è di esaminare i casi particolari in cui un certo valore del parametro azzera almeno un coefficiente.
Nel sistema
* ((2*k - 3)*x + (2 - k)*y + 3*(2 - k)*z = 0) & ((k - 5)*x + 4*y + (2 - k)*z = - 3) & ((k + 1)*x + (- 1 - k)*y + z = 3)
tali valori particolari sono quattro
* {- 1, 3/2, 2, 5}
---------------
1) Per k = - 1
* (5*x - 3*y - 9*z = 0) & (6*x - 4*y - 3*z - 3 = 0) & (z = 3) ≡
≡ (x = 36) & (y = 51) & (z = 3) ≡ sistema determinato
---------------
2) Per k = 3/2
* (y + 3*z = 0) & (7*x - 8*y - z - 6 = 0) & (5*x - 5*y + 2*z - 6 = 0) ≡
≡ (x = - 9) & (y = - 9) & (z = 3) ≡ sistema determinato
---------------
3) Per k = 2
* (x = 0) & (3*x - 4*y - 3 = 0) & (3*x - 3*y + z - 3 = 0) ≡
≡ (x = 0) & (y = - 3/4) & (z = 3/4) ≡ sistema determinato
---------------
4) Per k = 5
* (7*x - 3*y - 9*z = 0) & (4*y - 3*z + 3 = 0) & (6*x - 6*y + z - 3 = 0) ≡
≡ (x = - 9/43) & (y = - 30/43) & (z = 3/43) ≡ sistema determinato
------------------------------
Assodato che per i valori particolari non ci sono casi di impossibilità né d'indeterminatezza, esamino la soluzione generale
* ((2*k - 3)*x + (2 - k)*y + 3*(2 - k)*z = 0) & ((k - 5)*x + 4*y + (2 - k)*z = - 3) & ((k + 1)*x + (- 1 - k)*y + z = 3) ≡
≡ (x = 6*(k - 2)*(k - 3)/((1 - k)*(2*k^2 - k - 2)))) &
& (y = 3*(4*k^2 - 15*k + 15)/((1 - k)*(2*k^2 - k - 2))) &
& (z = 3/(2*k^2 - k - 2))
dalla quale emerge la necessità d'esaminare altri tre valori di k, quelli che annullano uno o più denominatori
* k non in {(1 - √17)/4, 1, (1 + √17)/4}
---------------
5) Per k = (1 - √17)/4
* (z = (2*(√17 + 5)*x/(√17 + 7) - y)/3) & (z = ((√17)*x + 19*x - 16*y - 12)/(√17 + 7)) & (z = (√17 - 5)*x/4 - (√17 - 5)*y/4 + 3) ≡
≡ (mi risparmio la dattilografia) ≡ sistema impossibile
---------------
6) Per k = 1
* (z = - y/3) & (z = 4*x - 4*y - 3) & (z = - 2*x + 2*y + 3) ≡
≡ (x = - 2) & (y = - 3) & (z = 1) ≡ sistema determinato
DEVO AVER SBAGLIATO DA QUALCHE PARTE: IL SISTEMA E' IMPOSSIBILE.
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28%282*k-3%29*x%2B%282-k%29*y%2B3*%282-k%29*z%3D0%29%26%28%28k-5%29*x%2B4*y%2B%282-k%29*z%3D-3%29%26%28%28k%2B1%29*x%2B%28-1-k%29*y%2Bz%3D3%29%26%28k%3D1%29
---------------
7) Per k = (1 + √17)/4
* (z = (2*(√17 - 5)*x/(√17 - 7) - y)/3) & (z = ((√17)*x - 19*x + 16*y + 12)/(√17 - 7)) & (z = (√17 + 5)*y/4- (√17 + 5)*x/4 + 3) ≡
≡ (come sub 5) ≡ sistema impossibile
------------------------------
CONCLUSIONE
Il sistema proposto non presenta casi d'indeterminatezza per nessun valore del parametro; presenta tre casi di impossibilità per k in {(1 - √17)/4, 1, (1 + √17)/4}; è determinato per ogni altro valore.

 

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@eva_di_sevo

Ciao e benvenuta. Domanda: è obbligatorio seguire le indicazioni fornite dal testo oppure hai la possibilità di risolvere il problema in altro modo?

@lucianop no non è obbligatorio seguire le indicazioni del testo




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