Che brutto il nome minuscolo, come se fosse una variabile scalare!
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NEI TUOI CONTI C'E' QUALCOSA CHE NON VA COME DOVREBBE: sei proprio sicuro sicuro d'aver compreso di che cosa si tratta? Se no in sede d'esame rischi una di quelle figuracce che poi la seconda volta t'impediscono di prendere un voto decente anche se dimostri d'aver rimediato a tutte le incomprensioni della prima volta.
Pensaci!
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INVERTIBILITA'
La matrice, costante su Z7,
* A = {{2, 1}, {2, 3}}
ha determinante quattro quindi è invertibile e, come tu scrivi, dovrebbe avere
* inv[A] = {{2, 4}, {1, 6}}
ma i prodotti destro e sinistro sono
* ({{2, 1}, {2, 3}}.{{2, 4}, {1, 6}}) mod 7 = {{5, 0}, {0, 5}}
* ({{2, 4}, {1, 6}}.{{2, 1}, {2, 3}}) mod 7 = {{5, 0}, {0, 5}}
che, pur avendo lo stesso valore, mi sembrano il quintuplo del dovuto.
Ovviamente può darsi benissimo che io abbia dimenticato qualche definizione, ma è più probabile che tu abbia dimenticato di moltiplicare per tre (inv[5] = 3) in modo da ottenere quel 15 che, modulo sette, vale uno.
In tal caso avresti avuto
* inv[A] = (3*{{2, 4}, {1, 6}}) mod 7 = {{6, 5}, {3, 4}}
* ({{2, 1}, {2, 3}}.{{6, 5}, {3, 4}}) mod 7 = {{1, 0}, {0, 1}}
* ({{6, 5}, {3, 4}}.{{2, 1}, {2, 3}}) mod 7 = {{1, 0}, {0, 1}}
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PERIODO MOLTIPLICATIVO n (A^n = I)
* A.A^1 = ({{2, 1}, {2, 3}}.{{2, 1}, {2, 3}}) mod 7 = {{6, 5}, {3, 4}} != I
* A.A^2 = ({{2, 1}, {2, 3}}.{{6, 5}, {3, 4}}) mod 7 = {{1, 0}, {0, 1}} = I
≡ A^3 = I
