Esercizio 5. Sia $a =\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right) \in M_2\left( Z _5\right)$.
(1) Determinare l'inversa di a;
(2) nel gruppo $\langle a \rangle \leqslant G L_2\left( Z _5\right)$ ci sono elementi di periodo 3 ? Determinarli tutti, se ci sono, o spiegare perchè non ci sono.
Salve, come ricavo il punto 2? credo centri il periodo e qualche proprietà inerente ai divisori.
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Livello 1
Ti ricordo che il gruppo generato da $a$ non è altro che l'insieme:
$ \lt a\gt =\{a^n|n\in N\}$
Calcola dunque potenze di $a$ e otterrai che:
$a^2 = \begin{pmatrix}
1 &1 \\
2 &3
\end{pmatrix}$
$a^3 = \begin{pmatrix}
4 &0 \\
0 &4
\end{pmatrix}$
$a^4 = \begin{pmatrix}
3 &4 \\
3 &1
\end{pmatrix}$
$a^5 = \begin{pmatrix}
4 &4 \\
3 &2
\end{pmatrix}$
$a^6 = \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{pmatrix}$
Dato che $a^6 = I$, l'ordine di $$ è 6.
Per il teorema di Lagrange dunque, gli elementi di ordine 3 saranno 2.
Puoi verificare facilmente che sono $a^2$ e $a^4$
Noemi
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Livello 5
