[Risolto] ortocentro e retta

Dati i punti A(-1,1) B(5,4) C(2,7) trova le coordinate dell’ortocentro del triangolo ABC.

L'ortocentro è l'incontro delle altezze di un triangolo. Determiniamo due altezze e vediamo dove si incontrano.

Per determinare un'altezza calcoliamo la retta passante per un vertice e perpendicolare al lato opposto.

Altezza relativa al lato $AB$: 

Determiniamo il coefficiente angolare della retta che passa per $AB$:

$m_{AB} = \frac{y_b-y_a}{x_b-x_a} = \frac{3}{6} = \frac12$

Il coefficente angolare della retta ad essa perpendicolare è $-2$, e la retta con questo coefficiente angolare passante per $C$ è:

$y-y_c = -2(x-x_c)$

$y-7 = -2(x-2) $

$y = -2x +11 $

Analogamente facciamo per l'altezza relativa al lato $AC$:

$m_{AC}  = \frac{6}{3} = 2 $

Il coefficente angolare della retta ad essa perpendicolare è $-\frac12$, e la retta con questo coefficiente angolare passante per $B$ è

$y-4 = -\frac12(x-5) $

$y = -\frac12x +\frac{13}{2} $

Facciamo l'intersezione delle due altezze:

$\begin{cases} y = -2x +11 \\ y = -\frac12x +\frac{13}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} y = -2x +11 \\ -2x +11 = -\frac12x +\frac{13}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} y = -2x +11 \\ -4x +22 = -x +13 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -2x +11 \\ 3x  =9\end{cases}$

$\begin{cases} y = -2x +11 \\ x  =3 \end{cases}$

$\begin{cases} y = -2(3)+11 = 5 \\ x  =3 \end{cases}$

L'ortocentro è $(3; 5)$.

2. Dati i punti A(2,1) B(4,-1) C(-7,-2) trova l’area del triangolo ABC.

Troviamo la lunghezza del lato $AB$: $\sqrt{ (2-4)^2+(1+1)^2} = \sqrt{6}$

Calcoliamo la retta passante per $AB$:

$m = \frac{ 2}{-2} = -1$

$y -1 = -(x-2) $

$ y = -x +3 $

$ y+x-3 = 0 $

Calcoliamo ora la distanza punto retta tra questa retta (lato AB) e il punto C. così determiniamo la lunghezza dell'altezza:

$ d= \frac{|1 \cdot (-7) +1 \cdot (-2) -3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{ 12}{\sqrt{2}}$

L'area quindi é: $\frac{\sqrt{6} \frac{12}{\sqrt{2}}}{2} = 6 \sqrt{3} $

3. Dato il fascio di rette di equazione ?? − 3? + ? − 1 = 0 determina:
a) il valore di k per cui la retta passa per il punto P(-2,3)

Imponiamo il passaggio per $P$ sostituendo le sue coordinate al posto di quelle del fascio:

$ k(-2) -3(3) +k -1 = 0 $
$-2k -9 +k -1 = 0 $
$ -k -10 = 0 $
$ k = -10 $

b) il valore di k per cui la retta è parallela alla retta ? = −2? + 3

Per essere parallela deve avere lo stesso coefficiente angolare, cioè $-2$. Troviamo il coefficiente angolare del fascio:

$kx-3y +k -1 = 0 $

$ -3y = -kx -k +1 $

$ y = \frac{k}{3} x +\frac{k}{3} -\frac13$

quindi il coefficiente angolare è $\frac{k}{3}$, allora

$\frac{k}{3} = -2 $

$k = -6$

c) il valore di k per cui la retta è parallela all’asse delle ascisse

Per essere parallela all'asse delle ascisse il suo coefficiente angolare deve essere zero, quindi:

$\frac{k}{3} = 0 \Rightarrow k = 0 $

d) ha distanza 1 dall’origine

Calcoliamo la distanza punto retta con l'origine $O(0;0)$

$ d= \frac{|k \cdot 0 -3 \cdot 0 +k -1|}{\sqrt{k^2+3^2}} = \frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+9}}$

questa deve essere $1$, quindi:

$\frac{|k-1|}{\sqrt{k^2+9}} = 1$

$|k-1| = \sqrt{k^2+9} $

$(k-1)^2 = k^2+9 $

$k^2+1-2k = k^2+9 $

$ -2k = 8 $

$k = -4 $